南京市名师课堂讲座高三――如何用导数解决...

1如何用导数解决与切线有关的问题?江苏省六合高级中学刘明2一、求过曲线上某个定点处的切线曲线的切线问题，是高考的常见题型之一，主要有以下几类问题：例1（2009全国卷Ⅱ理）曲线y＝x2x－1在点(1，1)处的切线方程为．解点（1，1）在曲线上．因为y′＝－1(2x－1)2，在点（1，1）处的切线斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－2＝0．【变式训练】1．（2010全国Ⅱ卷）若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＝，b＝．a＝1，b＝12．（2010辽宁）已知点P在曲线y＝4ex＋1上，θ为曲线在点P处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是．[3π4，π)3二、曲线的切线经过某个定点例2已知函数f(x)＝x3－3x(x∈R）的图像为曲线C，曲线C的切线l经过点A(2，2)，求切线l的方程．45解设切点为(t，t3－3t)，切线l的斜率为k＝3t2－3，切线方程为y－(t3－3t)＝(3t2－3)(x－t)．因为l过点A(2，2)，所以2－(t3－3t)＝(3t2－3)(2－t)，即t3－3t2＋4＝0，解得t＝2或t＝－1．①当t＝2时，l：9x－y－16＝0；②当t＝－1时，l：y＝2．综上，切线l的方程为y＝2或9x－y－16＝0．设切点求出切线方程依据题意，代人条件代数求解得到结论67【变式训练】（2010湖北）设函数f(x)＝13x3－a2x2＋1(a∈R)，若过点(0，2)可作曲线y＝f(x)的三条不同切线，求实数a的取值范围．提示设出切点(t，f(t))，得到切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)．将点(0,2)代入切线方程，得4t3－3at2＋6＝0．问题转化为研究关于t的函数g(t)＝4t3－3at2＋6有3个不同零点的问题．这就需要研究函数g(t)的单调性、极值，最终研究其零点．a的取值范围是(323,+∞).89三、不同曲线的相同切线问题例3（2010陕西）已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解曲线的交点就是切点．因为f′(x)＝12x，g′(x)＝ax(x＞0)，由已知得x＝alnx，12x＝ax．解得a＝e2,x＝e2，所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝12e，所以所求切线的方程为x－2ey＋e2＝0．1011【变式训练】（2009江西卷）若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则实数a＝．提示设过(1，0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x03)，所以切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)．又(1，0)在切线上，解得x0＝0或x0＝－32．（切线有了）当x0＝0时，切线为y＝0，与y＝ax2＋154x－9相切，可得a＝－2564；当x0＝－32时，切线为y＝274x－274，与y＝ax2＋154x－9相切，可得a＝－1．12设切点求出切线方程依据题意，代人条件代数求解得到结论【总结】从上面的例题可以发现，解决切线问题的基本方法是：13