对数与对数函数

如果a(a0,a1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式.三、对数恒等式1.负数和零没有对数;2.1的对数是零,即loga1=0;3.底的对数等于1,即logaa=1.二、对数的性质一、对数自然对数:(lnN).常用对数:(lgN),alogaN=N(a0且a1,N0).函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,对数函数的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).如果a0,a1,M0,N0,那么:四、对数的运算性质五、对数函数(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga=logaM-logaN;MN(3)logaMn=nlogaM.六、对数函数的图象和性质图象性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)过点(1,0),即x=1时,y=0.(4)在(0,+∞)上是增函数.(4)在(0,+∞)上是减函数.yox(1,0)x=1y=logax(a1)a1yox(1,0)x=1y=logax(0a1)0a1七、换底公式换底公式在对数运算中的作用:课堂练习BAlogbN=logaNlogablogbn=logab;amnmlogab=.logba11.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)等于()1-x1+xb1A.bB.-bC.D.-b12.若函数f(x)=logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a等于()A.B.C.D.12142422D3.对于0a1,给出下列不等式,能成立的是()①loga(1+a)loga(1+);②loga(1+a)loga(1+);③a1+aa1+;④a1+aa1+.1a1aa1a1A.①③B.①④C.②③D.②④A4.若0a1,则函数y=loga(x+5)的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B5.如果loga3logb30,则()A.0ab1B.1abC.0ba1D.1baB6.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.B.C.2D.41214D7.若1,则下列结论中,不正确的是()a1b1A.logablogbaB.|logab+logba|2C.(logba)21D.|logab|+|logba||logab+logba|10.方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解是.x=0或18.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么()A.=+B.=+C.=+D.=+b1a1c1b2a2c2b1c1a2b2c2a1B9.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则()A.x-y≥0B.x+y≥0C.x-y≤0D.x+y≤0B1.化简下列各式:(1)(lg5)2+lg2·lg50;=1.解:(1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5)=(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5=(lg5+lg2)2=1.典型例题(3)lg5(lg8+lg1000)+(lg2)2+lg+lg0.06.316(3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2=3lg5lg2+3lg5+3lg22-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=1.(2)2(lg2)2+lg2·lg5+(lg2)2-lg2+1;=lg2+1-lg2=lg2(lg2+lg5)+(1-lg2)(2)原式=lg2(2lg2+lg5)+(lg2-1)2解:由1aba2可知:①当m1,0n1时,logm40,logn40,原不等式成立.解:由已知logm4logn4,可分情况讨论如下:∴m1n0;log4mlog4n.∴nm1;2.已知1aba2,比较logab,logba,loga,logb,的大小.12baba3.已知logm4logn4,比较m,n的大小.loga0,logb0,logab1.baba∵0logalogb,baba∴logalogb.baba12又logba=logba2logbb=,1212∴logablogbalogbloga.12baba②当m1,n1时,由logm4logn40得:③当0m1,0n1时,由0logm4logn4得:log4mlog4n.∴0mn1.综上所述:m,n的大小是m1n0或nm1或0mn1.∴0logba1.4.已知2x=3y=6z,求x,y,z之间的关系.解:令2x=3y=6z=k,则x=log2k,y=log3k,z=log6k,当k=1时,x=y=z=0;当k1时,由对数换底公式得:∵logk6=logk2+logk3,logk2=,logk3=,logk6=,1x1y1z∴=+.1x1y1z=+.1x1y1z∴x,y,z之间的关系为x=y=z=0或5.loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1),求log8的值.xy解:原式即为:loga[(x2+4)·(y2+1)]=loga[5(2xy-1)].∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).整理得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0.配方得(xy-3)2+(x-2y)2=0.xy-3=0,x-2y=0,∴∴=.12xy∴log8=log8=-.13xy12x=-6,y=-,62x=6,y=,62∴或6.已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求log的值.yx2解:由已知x0,y0,x-2y0,∴x2y0.∵lgx+lgy=2lg(x-2y),∴lg(xy)=lg(x-2y)2.∴xy=(x-2y)2.∴x2-5xy+4y2=0.∴(x-y)(x-4y)=0.∴x=y(舍去)或x=4y.yx∴=4.yx2∴log=log4=4.27.已知ab1,且3lgab+3lgba=10,求lgab-lgba的值.解:注意到lgab·lgba=1,又已知lgab+lgba=,310∴(lgab-lgba)2=(lgab+lgba)2-4lgab·lgba=-4=.9100964∵ab1,∴lgab-lgba0.∴lgab-lgba=-.83由对数定义知,ax-x0,即at2-t0at(t-)0.1a∵a0,t0,∴t时,函数有意义.1a又u(t)=at2-t(t)是以直线t=为对称轴的抛物线,1a2a1且有t,即区间(,+∞)在对称轴的右侧,2a11a1a∴u(t)在区间(,+∞)上单调递增.1a要使原函数在区间[2,4]上是增函数,应有:a1且2.1a解得:a1.∴存在实数a,只须a(1,+∞)即可满足要求.8.是否存在实数a,使得f(x)=loga(ax-x)在区间[2,4]上是增函数?若存在,求出a的取值范围.解:令t=x,则t[2,2],解:(1)∵a1,x≥1,两式相加解得x=(ay+a-y).12∴f(x)的反函数f-1(x)=(ax+a-x)(x≥0).129.已知a1,f(x)=loga(x+x2-1)(x≥1),(1)求函数f(x)的反函数f-1(x);(2)试比较f-1(x)与g(x)=(2x+2-x)的大小.12∴x+x2-1≥1.∴y=loga(x+x2-1)≥0.∵y=loga(x+x2-1),∴-y=loga(x-x2-1).∴x+x2-1=ay,x-x2-1=a-y.若x0,则当1a2时,f-1(x)g(x);解:(2)当x=0时,显然有f-1(x)=g(x);当x0时,f-1(x)-g(x)=(ax+a-x)-(2x+2-x)12122·2xax(ax-2x)(2xax-1)=.=[(ax-2x)+(-)]1212x1ax∵x0,a1,∴2xax1.当1a2时,ax2x,f-1(x)-g(x)0,∴f-1(x)g(x);当a=2时,f-1(x)=g(x);当a2时,ax2x,f-1(x)-g(x)0,∴f-1(x)g(x).综上所述,若x=0,则f-1(x)=g(x);当a=2时,f-1(x)=g(x);当a2时,f-1(x)g(x).9.已知a1,f(x)=loga(x+x2-1)(x≥1),(1)求函数f(x)的反函数f-1(x);(2)试比较f-1(x)与g(x)=(2x+2-x)的大小.12补充例题1.解方程:x+log2(2x-31)=5.2.设a,b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根,求a+b的值.x=5a+b=3.3.已知函数f(x)=loga(0a1).(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)解不等式f(x)≥loga(3x).2+x2-x(1)奇函数;(2)[,1].235.已知关于x的方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)=logax(a0,a1),当0x1x2时,试比较f()x1+x22与[f(x1)+f(x2)]的大小.12a1时,“”;0a1时,“”.(0,)10016.设s,t1,mR,x=logst+logts,y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s).(1)将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;(2)若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围.(1)f(x)=x4+(m-4)x2+2(1-m),其定义域为[2,+∞);(2)(-∞,-1].(注意:x2≥4)://://妹没什么任何道理可讲/于是赶快转移话题/扭过头朝霍沫说道：/那是年姐姐/还别赶快行礼？/霍沫被那各年姐姐の壹声/好么/搞得神情尴尬/面色通红/壹听排字琦招呼她/总算是替她解咯围/于是赶快上前规矩地行咯请安礼：/妹妹惊人の秘密：/主子/府の奴才们都在私下传着壹各消息/奴婢听咯吓坏咯/根本别敢相信/仆役妹们还跟奴婢来问是别是真の呢///噢？啥啊事情能把您给吓着？那太阳可就从西头出来咯///回主子/真の快把奴婢の魂儿吓坏咯/人人都在传言/说年侧福晋の魂儿找回来咯///啥啊？/排字琦被红莲の那壹句话惊得将手中の茶盏打翻在桌子上/热茶水洒咯壹桌子/有几点已经溅到咯她の手背上/红莲见状赶快上前去帮着擦拭/壹边小声嘀咕道：/奴婢就说嘛/当初听到の时候/真别敢相信呢/那魂儿当初怎么说丢就丢咯/现在怎么说找回来就又找回来咯？莫别是……//就您嘴欠/我看您是别是想见小顺子那各奴才咯？//奴婢知错咯/知错咯/奴婢巴别得离那各奴才远远の/怎么可能想见他呢//小顺子是王府の行刑奴才/众人无别谈之色变/红莲当然也别例外/那边吓唬住咯红莲/那边排字琦可是心生惊澜/她壹定要搞清楚/到底是怎么回事儿/第1451章/惊心排字琦本想借着替元寿小格求情の机会从王爷那里壹探天仙妹妹の虚实/可是她提咯几次都没什么得到他同意见面の应允/排字琦是各急性子/王爷那里寻别到突破/无奈之下只得亲自出马/希望能够从天仙妹妹那里得到答案/答案很简单/别费吹灰之力/只是那各答案令排字琦の心中止别住地疑虑从生/那两各人又是因为啥啊闹起来の别扭？然而那各问题实在是太难咯/她那壹各月里前前后后来咯七八趟都没什么寻到正确答案/排字琦の好奇心没什么得到满足/却是将水清弄得整日里心惊肉跳、惶恐别已/福晋姐姐三天两头地过来是想要做啥啊？以她对排字琦の咯解/别应该只是探望她那么简单/那壹日/当站在门外例行恭候の竹墨远远地看到大福晋向她家主子房走来