【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题一 第3讲 二次函数、指数函数、对数函数

二次函数、指数函数、对数函数是中学数学的重要函数模型，也是函数内容的主体部分，因此是高考重点考查的对象，在每年的高考试题中都会涉及到对这几种函数模型的考查，既有可能在选择题、填空题中出现，也有可能在解答题中出现，从难度上看，容易题、中档题、难题均有可能出现，以考查这些函数的图象与性质为主，同时还经常将对这些内容的考查与其他知识融合在一起，体现知识点的交汇.1．(2010·山东高考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：因为3x＋1＞1，所以f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案：A2．(2010·重庆高考)函数f(x)＝4x＋12x的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：因为f(x)＝2x＋12x＝2x＋2－x，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故函数f(x)的图象关于y轴对称．答案：D3．(2010·安徽高考)设a＝(35)25，b＝(25)35，c＝(25)25，则a，b，c的大小关系是()A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：构造指数函数y＝(25)x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝(25)x(x∈R)与y＝(35)x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有(35)x＞(25)x，故(35)25＞(25)25，∴a＞c，故a＞c＞b.答案：A4．(2010·福建高考改编)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0与x轴交点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：法一：令f(x)＝0得，x≤0x2＋2x－3＝0或x0lnx＝2，∴x＝－3或x＝e2.法二：画出函数f(x)的图象可得其图象与x轴有两个交点．答案：C1．二次函数的图象与性质(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线①a定形状，b、c定位置，过定点(0，c)；②对称轴为x＝－b2a，顶点坐标为．(－b2a，4ac－b24a)(2)当a＞0时，图象开口向上，在上单调递减，在上单调递增；当a＜0时，图象开口向下，在上单调递增，上单调递减．(－∞，－b2a][－b2a，＋∞)(－∞，－b2a][－b2a，＋∞)2．指数函数与对数函数的性质：指数函数y＝ax(a0，且a≠1)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)定义域值域不变性恒过定点恒过定点(－∞，＋∞)(0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，＋∞)(0,1)(1,0)指数函数y＝ax(a0，且a≠1)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)增减性a＞1时为，0＜a＜1时为a＞1时为，0＜a＜1时为奇偶性图象特征图象始终在x轴上方图象始终在y轴右侧非奇非偶函数非奇非偶函数增函数增函数减函数减函数1.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．2．注意三个“二次”的相互转化解题3．二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”[例1]已知13≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)．令g(a)＝M(a)－N(a)．(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值．[思路点拨]首先对f(x)配方，确定对称轴，注意对a的取值要分类讨论，求M(a)，N(a)，才能进一步求解．[自主解答](1)f(x)＝ax2－2x＋1＝a(x－1a)2＋1－1a.∵13≤a≤1，∴1≤1a≤3，当1≤1a≤2，即12≤a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a－5，N(a)＝f(1a)＝1－1a，g(a)＝9a－5－(1－1a)＝9a＋1a－6.当2≤1a≤3，即13≤a≤12时，M(a)＝f(1)＝a－1，N(a)＝f(1a)＝1－1a，g(a)＝(a－1)－(1－1a)＝a＋1a－2.∴g(a)＝a＋1a－2，13≤a≤12，9a＋1a－6，12≤a≤1.(2)当13≤a1＜a2≤12时，g(a2)－g(a1)＝(a2－a1)(1－1a1a2)＜0，∴g(a)在[13，12]上是减函数，最小值是g(12)＝12.当12≤a1＜a2≤1时，g(a2)－g(a1)＝(a2－a1)(9－1a1a2)＞0，∴g(a)在[12，1]上是增函数，最小值是g(12)＝12.1.利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．[例2](2010·山东高考)(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)(2010·天津高考)设函数f(x)＝log2x，x0，log12－x，x0.若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[思路点拨](1)由f(x)为奇函数得f(0)＝0求b的值．(2)首先化为同底的对数函数，再对a分类讨论，求a的范围．[自主解答](1)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，因为当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)由题意可得a0log2a－log2a或a0log12－alog2－a，解之可得a1或－1a0.[答案](1)A(2)C(1)例2中(1)题的条件不变，函数f(x)的零点的个数为________．(2)例2中(2)题的条件不变，f(－13)、f(13)、f(3)、f(4)的大小关系为________．解析：(1)在同一坐标系中作出当x≥0时，y＝2x和y＝－2x＋1的图象如图所示，图象只有一个交点在y轴上，所以当x≥0时函数f(x)有1个零点O，由于f(x)为奇函数，∴当x0时，f(x)与无x轴无交点．(2)易知f(13)0,0f(－13)＝f(3)f(4)因此f(13)f(－13)＝f(3)f(4)．答案：(1)1(2)f(13)f(－13)＝f(3)f(4)[例3]已知函数f(x)＝1－42ax＋a(a＞0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．[思路点拨]对于(1)，由f(0)＝0可建立关于a的方程．对于(2)，可把y用ax表示出来，利用ax＞0求出y的取值范围．对于(3)，转化为求函数最值问题．[自主解答](1)由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故必有f(0)＝0，即1－42a0＋a＝0，解得a＝2.(2)由(1)知y＝f(x)＝1－22x＋1，得2x＝1＋y1－y.∵2x＞0，∴1＋y1－y＞0，解得－1＜y＜1，故函数f(x)的值域是(－1,1)．(3)不等式tf(x)≥2x－2，即t(1－22x＋1)≥2x－2，t·2x－12x＋1≥2x－2.∵x∈(0,1]，∴2x－1＞0，∴t≥2x＋12x－22x－1.令2x－1＝m，则0＜m≤1，2x＋12x－22x－1＝m2＋m－2m＝m－2m＋1∈(－∞，0]．因此要使不等式tf(x)≥2x－2在(0,1]上恒成立，应有t≥0.解决函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：读题文字语言→建模数学语言→求解数学应用→反馈检验作答[例4](2010·湖南高考)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[思路点拨]解答首先由C(0)＝8求k的值，确定C(x)的关系，从而求得f(x)．[自主解答](1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．解答本题考生犯的错误是把一年能源消耗费用按20年代入，从而导致错误．[例5]若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝()A.52B．3C.72D．4数形结合思想[解析]由2x＝5－2x，得2x－1＝52－x，又2log2(x－1)＝5－2x，所以log2(x－1)＝52－x.作出y＝2x－1，y＝52－x，y＝log2(x－1)的图象(如图)，y＝2x－1与y＝log2(x－1)的图象关于y＝x－1对称，它们与y＝52－x相交于A、B两点，直线y＝52－x与y＝x－1相交于点C，由图可知线段AB的中点为点C，即xC＝74＝x1＋x22，所以x1＋x2＝72.[答案]C[解法心得]本题是关于指数、对数的方程问题，利用传统解方程的方法很难奏效，通过数形结合将问题转化成点的坐标问题，体现了以形助数的巧妙．已知0＜a＜1，则方程ax＝logax的实根个数为()A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个解析：判断方程的根的个数就是判断图象y＝ax与y＝logax的交点个数，画出两个函数图象(如图所示)，易知两图象只有2个交点，故方程有2个实根．答案：B点击此图片进入“专题训练”