第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式

考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例1训练1例2训练2例3训练3第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式概要课堂小结例4训练4结束放映返回目录第2页1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．()(4)若α≠𝑘𝜋+𝝅𝟐(𝒌∈𝒛)，则cos2α=𝟏𝟏+𝐭𝐚𝐧𝟐𝜶()夯基释疑结束放映返回目录第3页考点突破考点一同角三角函数基本关系式及应用(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9解＝2×2－34×2－9＝－1.例1(1)已知tanα＝2，则2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝____________(2)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－43B.54C．－34D.45(2)由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.特点：分子分母是关于sniα、cosα“齐次式”特点：关于sniα、cosα“齐2次整式”结束放映返回目录第4页考点突破规律方法若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．考点一同角三角函数基本关系式及应用结束放映返回目录第5页【训练1】若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋2sinαcosα的值为()A.103B.53C.23D．－2解析考点突破3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－13，1cos2α＋2sinαcosα＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sinαcosα＝1＋tan2α1＋2tanα考点一同角三角函数基本关系式及应用＝1＋－1321－23＝103.答案A结束放映返回目录第6页考点突破考点一同角三角函数基本关系式及应用(1)当π4＜θ＜π2时，sinθ＞cosθ，解∴cosθ－sinθ＜0，例2(1)(2014·山东省实验中学诊断)已知sinθ·cosθ＝18，且π4＜θ＜π2，则cosθ－sinθ的值为________．又(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－14＝34，∴cosθ－sinθ＝－32.深度思考第（2）小题有两种解法，其一结合平方关系解方程组求sinα与cosα；其二求cosα－sinα；你用到的哪一种？但作为选择题本题还可以根据已有的结论猜测sinα与cosα.结束放映返回目录第7页考点突破考点一同角三角函数基本关系式及应用联立sinα＋cosα＝15，①sin2α＋cos2α＝1，②解法一由①得，sinα＝15－cosα，将其代入②，例2(2)已知－π2＜α＜0，sinα＋cosα＝15，则1cos2α－sin2α的值为()A.75B.725C.257D.2425整理得25cos2α－5cosα－12＝0.因为－π2＜α＜0，于是1cos2α－sin2α＝1452－－352＝257.所以sinα＝－35，cosα＝45，注意隐含条件的利用结束放映返回目录第8页考点突破考点一同角三角函数基本关系式及应用因为sinα＋cosα＝15，解法二所以(sinα＋cosα)2＝152，例2(2)已知－π2＜α＜0，sinα＋cosα＝15，则1cos2α－sin2α的值为()A.75B.725C.257D.2425可得2sinαcosα＝－2425.而(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α答案(1)－32(2)C＝1＋2425＝4925，又－π2＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＝75.于是1cos2α－sin2α＝1（cosα＋sinα）（cosα－sinα）＝257.注意符号的判断结束放映返回目录第9页考点突破规律方法求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之间可建立联系，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝t2－12，sinα－cosα＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用．考点一同角三角函数基本关系式及应用结束放映返回目录第10页【训练2】已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()．A．－1B．－22C.22D．1解法一考点突破由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，得：2cos2α＋22cosα＋1＝0，即2cosα＋12＝0，∴cosα＝－22.考点一同角三角函数基本关系式及应用又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.结束放映返回目录第11页【训练2】已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()．A．－1B．－22C.22D．1解法二考点突破因为sinα－cosα＝2，所以2sinα－π4＝2，所以sinα－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，考点一同角三角函数基本关系式及应用所以tanα＝－1.解法三因为sinα－cosα＝2，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0，2π)，答案A所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tanα＝－1.结束放映返回目录第12页考点二利用诱导公式化简三角函数式(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°解析考点突破例3(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝____．(2)设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________．＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.结束放映返回目录第13页考点二利用诱导公式化简三角函数式(2)∵f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α解析考点突破例3(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝____．(2)设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________．＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）sinα（1＋2sinα）＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.结束放映返回目录第14页考点突破规律方法利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点二利用诱导公式化简三角函数式结束放映返回目录第15页考点突破考点二利用诱导公式化简三角函数式解析(1)原式＝(－sin1071°)·sin99°＋sin171°·sin261°＋tan1089°·tan540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)＝0＋0＝0.训练3(1)sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1089°)tan(－540°)＝________．(2)化简：tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－α－π）sin（－π－α）＝________．＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＋tan9°·tan180°结束放映返回目录第16页考点突破考点二利用诱导公式化简三角函数式解析(2)原式＝－tanα·cosα·（－cosα）cos（π＋α）·（－sin（π＋α））＝tanα·cosα·cosα－cosα·sinα答案(1)0(2)－1训练3(1)sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1089°)tan(－540°)＝________．(2)化简：tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－α－π）sin（－π－α）＝________．＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1.结束放映返回目录第17页解析考点突破(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.(2)∵π6－α＋5π6＋α＝π，∴tan56π＋α＝－tanπ－56π＋α考点三利用诱导公式求值例4(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝______；(2)已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________．＝－tanπ6－α＝－33.规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．结束放映返回目录第18页考点突破解析＝cosπ－π12＋α＝－cosπ12＋α，而sin7π12＋α＝sinπ2＋π12＋α训练4(1)已知sin7π12＋α＝23，则cosα－11π12＝________．(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________．(1)cosα－11π12＝cos11π12－α考点三利用诱导公式求值＝cosπ12＋α＝23，所以cosα－11π12＝－23.(2)因为tan(π＋α)＝tanα＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝12.结束放映返回目录第19页1．同角三角函数关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用。思想方法课堂小结2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝sinxcosx进行切化弦或弦化切，如𝒂𝐬𝐢𝐧𝒙+𝒃𝐜𝐨𝐬𝒙𝒄𝐬𝐢𝐧𝒙+𝒅𝐜𝐨𝐬𝒙,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型