24图形的相似(三)电子课本

-1-证明如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴21ACAEABAD．∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴∠ADE＝∠ABC，21BCDE（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），∴DE∥BC且BCDE21．概括我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．图24.4.3已知：如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC，所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF∥AB．所以四边形ADEF是平行四边形．因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．例2如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．求证：31ADGDCEGE．-2-图24.4.4证明连结ED，∵D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE∥AC，21ACDE（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），∴△ACG∽△DEG，∴21ACDEAGGDGCGE，∴31ADGDCEGE．图24.4.5拓展如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有31BFFGADDG，所以有31ADDGADGD，即两图中的点G与G′是重合的．于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31．由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知：如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证：EF∥BC，EF＝21（AD＋BC）．-3-图24.4.6分析由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．思考图24.4.7如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为hllS)(2121．其中1l、2l分别为梯形的两底边的长，h为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？练习1．如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB＝6，BC＝10，AC＝8．试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF的大小．（第1题）（第2题）2．如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．3．求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．习题24．4-4-1．三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．2．梯形中位线长为12cm，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之差是多少？3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点．求证：四边形EGFH是矩形．(第3题)（第4题）4．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．§24.5画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变．下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．现在要把多边形ABCDE放大到1．5倍，即新图与原图的相似比为1．5．我们可以按下列步骤画出图24．5．1：图24.5.11．任取一点O；2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；3．分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1．5；4．连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？图24．5．1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心．放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．-5-要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图24．5．2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．图24.5.2图24.5.3实际上，如图24．5．3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便．练习任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍．习题24．5任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形．（1）相似比为21；（2）相似比为2．5．阅读材料数学与艺术的美妙结合——分形雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现：将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形．然后以其两腰代替底边．再将六角形的每边三等分，重复上述的作法．如图1所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线．图1雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似．只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去．观察图2中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形．图2-6-图3是五边形的一幅自相似图形．图3图4自然界中其实存在很多自相似现象，如图4所示树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等．现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何．如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术．图5§24.6图形与坐标1.用坐标确定位置图24.6.1夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图24．6．1所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是：（1，2）、（－3，5）、（4，-7-5）、（0，3）．目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置．试一试图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：图24.6.2有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等．右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置？如何描述A、B、C的位置？我们还可以用其他方式来表示物体的位置．例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2．4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1．1千米的地方．根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：-8-图24.6.3看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置．这种方式在军事和地理中较为常用．练习小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）．试借助刻度尺、量角器解决下列问题．（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；（2）填空：九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米．2.图形的变换与坐标在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？例图24．6．4中，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′．三个顶点的坐标有什么变化呢？