二次函数的九种类型

如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为直角三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以三角形的三条边为斜边(或三个顶点为直角顶点）分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。类型三：直角三角形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC的周长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两个定点距离之和最小的点。类型二：将军饮马问题：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽再乘以二分之一来求。类型一：利用二次函数表达式求最大值的问题如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为等腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论，其中要应用两点之间的距离公式等知识。类型四：等腰三角形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点P在抛物线上，在y轴上有一个动点Q,是否存在点P、Q,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用线段的中点坐标公式等。类型五：平行四边形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点P是y轴上一个动点，,是否存在以点P、O、A为顶点的三角形与△OBC相似，如果存在请求出所有满足条件的P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。类型六：相似三角形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，将抛物线沿着x轴平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线AC上，求平移后的抛物线的表达式。此类问题要注意到平移抛物线a值大小不变，对于一般式只是b、c值发生改变，对于顶点式只是顶点坐标发生改变。类型七：抛物线的几何变换（平移）：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，将抛物线绕着x轴翻折所得新抛物线与直线交于点D，求三角形ABD的面积。此类问题要注意到沿着x轴翻折抛物线，由于开口大小没变，只是开口方向改变，所以a值变为原来的相反数。类型八：抛物线的几何变换（轴对称）：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点Q是x轴上一个动点，将抛物线绕点Q旋转180°得到新抛物线，设原抛物线顶点为M，旋转后的抛物线顶点为N，与x轴交点中右边的交点为D，若四边形AMDN为矩形，求Q的坐标。此类问题要注意旋转中心在哪里，旋转之后哪些点可以构成平行四边形。类型九：抛物线的几何变换（旋转）：