2007-2008高等数学A(下)期末考试试卷A答案

北京林业大学2007--2008学年第二学期高等数学A考试试卷(A)答案一、填空：（每小题3分，共30分）1.已知22(,)fxyxyxy，则),(yxfxy.2.(,)(2,0)sin()lim11xyxyxy=23.设eyxz，则dz21()yxeydxxdyx.4.设曲线的参数方程是24,arctan,xtytzt，则曲线在点(1,,1)4处的切线方程是1141242yxz.5.若曲面2222321xyz的切平面平行于平面46250xyz，则切点坐标为(1,2,2),(1,2,2).6.设22442),(yxyxyxyxf，已知点(1,1)P是函数的驻点，在空格中填入),(yxf在点P处取得的是极大值，还是极小值，还是不取极值__________极小值.7.若D是以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dxydxdy16.8．L为圆周224xy，计算对弧长的曲线积分22Lxyds=8．9．设是柱面222ayx在hz0之间的部分，则对面积的曲面积分22()xydS32ah.10．设()fx是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]的定义为210()01xfxxx，则()fx的傅里叶级数在1x收敛于32．二、选择题：（每小题2分，共10分）1.下列级数中收敛的是（C）（A）1884nnnn（B）1884nnnn（C）1824nnnn（D）1842nnnn2.已知二元函数(,)zfxy在点),(yx处可微分，则在点),(yx处不一定成立的是(D).A.该函数在点),(yx处连续B.该函数在点),(yx处的极限存在C.该函数在点),(yx处的两个偏导数yzxz,存在D.该函数在点),(yx处的偏导数连续3.方程0222zyx表示的二次曲面是(C).A.球面B.旋转抛物面C.圆锥面D.圆柱面4.设平面区域{(,)|,},Dxyaxaxya1{(,)|0,}Dxyxaxya，则(cossin)Dxyxydxdy（A）A.12cossinDxydxdyB.12DxydxdyC.14(cossin)DxyxydxdyD.05.二次积分2200(,)xdxfxydy写成另一种次序的积分是(A).A.420(,)ydyfxydxB.400(,)ydyfxydxC.2420(,)xdyfxydxD.402(,)ydyfxydx三、（6分）若222exyzz确定(,)zzxy，求zx和zy.解因22222exyzzzxzxx，22222exyzzzyzyx（3分）故2222222e12exyzxyzzxxz，2222222e12exyzxyzzyyz（6分）四、（6分）设)]([yxu,其中,二阶可导,证明222uuuuxxyyx.证明：因为,()uuyxy（3分）222(),uuyxyyxx故222()uuuuyxxyyx.（6分）五、（6分）求dDxy，其中D是由直线xyxy,2,1所围区域.解：先y后x，211:xxyD，（3分）故2222231111111119ddddddd228xxxDxyxyyxxxyyxyxxxx.（6分）六、（6分）问1(1)1cosnnan是否收敛？若收敛，是否绝对收敛？解收敛，且绝对收敛.（3分）事实上，因222(1)(1cos)1cos2sin22naaaannnn，而2212nan收敛，故由比较判别法知，1(1)1cosnnan收敛.从而1(1)1cosnnan收敛，而且绝对收敛.（6分）七、（7分）求幂级数nnxnn121的收敛域与和函数.解：因为：1lim||1,1(-1,1)nnnaxa时级数发散，所以收敛域为（5分）211001111111xxnnnnnnnnnnnxnxxxnxdxxdxnn＝＝201ln(1),(11)11(1)xxxxdxxxxxx（7分）八、（6分）将1()45fxx展开为)1(x的幂级数.解：11()6515(1)fxxx（2分）0046[5(1)]5(1)()55nnnnnxxx（6分）九、（6分）设是由曲线220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围成的闭区域，求三重积分22()Ixyzdv.解：曲线220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面方程为222xyz，故在xoy面上的投影为22:8xyDxy，（2分）所以2284221002256()()3rIrzrdrddzddrrzrdz（6分）十、（6分)设L是由曲线22222,4xyyxyy与直线30,30xyyx所围成区域D的正向边界，求222(1cos)(sincos)Lyyyyydxxdyxxxxx．解222cossincos1xxyxyxyQxyxyPxxyxyxyxyxQ2sincos2322xyxyxyxyyPsincos2322xyPxQ2（2分）由Green公式有222(1cos)(sincos)Lyyyyydxxdyxxxxx=dyxdxD2=drrdcos2sin4sin2236=36333cossin)24(32d=442123413112=314（6分）十一、（7分）计算曲面积分3322(61)Ixdydzydzdxzdxdy,其中是曲面221zxy(10)z的下侧.解:补充曲面.221:0(1)zxy，方向为上侧11333322(61)22(61)Ixdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy（3分）=2222102220011(666)6(1)3rxyxydVdxdydrdrrdz（7分）十二、（4分）利用求条件极值的方法，证明对任何正数,,abc成立不等式：3327()3abcabc证明：设abcD，3(,,)()LabcabcabcD（2分）由3320030abcLbcLacLabcabcD解得3,55DDabc此点即为极大值点，故33327()27()53Dabcabc（4分）