固体理论 第三部分 集体现象理论 第六章 类声子元激发与相互作用

版权归作者所有，请勿翻印129第六章类声子元激发与相互作用上一章讲到声子是一种有互相作用离子实体系的元激发（振动）。类似的体系，例如有互相作用的电子系统、自旋系统等，也各有相应的元激发，与声子有不少共同处。这些元激发还可能与其它类型的元激发耦合，形成新的物理现象。本章将讨论这些问题，首先来看比较简单的离子晶体。§6.1离子晶体中的极化激元－长关学波的宏观分析离子晶体中存在着光学模格波，Born和黄昆[1]首先提出用宏观极化场来研究长光学波的性质。虽然这是一种建立在传统电动力学和简单离子极化模型基础上的经典处理方法，但是它比较准确地描述了长光学波的性质。设晶体中每个晶胞只包含一对离子，各带电荷Ze+和Ze−。可以把它们偏离平衡位置的位移记为u+和u−，这样每个晶胞内有电偶极矩()Zeuu+−−。对于长波振动，可以认为在距离较近的晶胞内u+和u−是空间均刀的，因此可定义晶体的这种极化强度1()uaZeVPuu+−=−，(6.1.1)这里aV是晶胞体积。除此以为，正、负离子本身也可能在电场中极化，设其极化率分别为α+和α−，则与之相应的极化强度应为()()effeff1()aVαααPEE+−+−=+，(6.1.2)其中()effE+和()effE−分别为正、负离子所感受到的有效电场强度。有效电场强度包括两部分，即外电场的强度和所有其它晶胞内离子极化产生的总电场强度。后者可通过电动力学中的一个结论来估算，对于一个介电性质各向同性的球体，当外电场的强度为E并且球内各处极化强度为P时，球形介质对球心电场强度的贡献应为4/3πP。因此可以近似得到每个晶胞内离子感受到的有效电场强度，eff43πEEP=+。(6.1.3)对于长波振动，每个晶胞内正、负离子所感受到的有效电场强度基本是相同的，这里不版权归作者所有，请勿翻印130再区别处理。从以上讨论可以得到晶体的总极化强度P应该是14()()()3uaaZeVVαααπPPPuuEP+−+−=+=−+++，(6.1.4)所以晶体的极化强度是外电场和离子偏离平衡位置位移的函数，1[()()]4()3aZeVααααπPuuE+−+−+−=−++−+。(6.1.5)长光学支格波描述的实际上是每个晶胞中两个离子间的相对运动，在简谐近似下可以近似地认为两个离子间的作用力是弹性恢复力，这样可以得到两个离子的运动方程2eff2d()dMkZetuuuE+++−=−−+，2eff2d()dMkZetuuuE−−+−=−−，(6.1.6)其中k是弹性恢复力系数。把(6.1.3)式代入(6.1.6)式并引入约化质量MMMMM+−+−=+，(6.1.7)就可以把(6.1.6)式化为一个描述质心运动的方程以及相对运动的方程，后者为22d4()()()d3MkZetπuuuuEP+−+−−=−−++2a4()3[]()44()()33aZeZekVVααααπππEuu+−+−+−=−+−+−+−+。(6.1.8)可以引进新的变量和参数来简化前面的方程。定义矢量W，()aMVWuu+−≡−，(6.1.9)则(6.1.5)和(6.1.8)两方程可以写成如下的方程组2122bbPWE=+，211122ddbbtWWE=+，(6.1.10)其中2114()3413aaZeMVkbMVααππ+−=−++−，22413aaVbVααααπ+−+−+=+−，版权归作者所有，请勿翻印1311221413aaZeMVbbVααπ+−==+−。(6.1.11)现在从这些关系式出发来讨论长光学波的性质。首先来看静电情况，当外场恒定时，离子实位置相对静止，22d/d0tW=，由(6.1.10)式可得21212222211()bbbbbPWEE=+=−。(6.1.12)也就是说，晶体的静电介电常数(0)ε应满足关系式2122211(0)14bbbεπ−=−。(6.1.13)另一方面，当外来场的频率远高于格波频率时，晶格位移不可能跟上外来场，于是应当有0W=，可以略去离子实位移对极化场的贡献得到22bPE=，即高频介电常数()ε∞应满足22()14bεπ∞−=。(6.1.14)因此，晶体的静电介电常数与高频介电常数间有关式212221[(0)()]4bbεεπ−=−∞。(6.1.15)虽然能从方程(6.1.10)式得到长光学波静电和高频的性质，但是如果要进一步考虑格波的频率，就需要利用电动力学中描述电磁场运动的结果。如果同时考虑电场所满足的高斯方程，(4)0πEP∇⋅+=，代入(6.1.10)式得到2212144bbππWE+∇⋅=−∇⋅。(6.1.16)静电场是无旋的，0E∇×=，也就是说静电场只有纵向分量。可以把矢量W分成纵波和横波两部分，LT=+，满足0TW∇⋅=，0LW∇×=。显然有2212144LbbππWE+∇⋅=−∇⋅，(6.1.17)其解为2212144LbbππWE+=−。这样由(6.1.10)式就可以得到方程组版权归作者所有，请勿翻印132221211222d4()d14LLbbtbππWW=−+，2112ddTTbtWW=。(6.1.18)从这个方程组可以看出离子在纵向和横行分别按照不同的固定频率振动。利用(6.1.13)和(6.1.14)两式就可以进一步得到2202d(0)d()LLtεωεWW=−∞，2202ddTTtωWW=−，(6.1.19)其中2011bω≡−。(6.1.20)显然，长光学支的纵波频率ωL与横波的频率ωT满足很简单的关系式，即220Tωω=，220(0)()Lεωωε=∞，(0)()LTωεωε=∞，(6.1.21)这些关系式称为Lyddane-Sachs-Teller（LST）关系式[2]。这样，方程(6.1.10)式中的几个唯象系数用晶体的宏观量来表达就是2110bω=−，221[()1]4bεπ=∞−，122101[(0)()]4bbωεεπ==−∞。(6.1.22)二普遍情况在LST关系式的推导中，电场被当作静电场来处理，略去了它的旋度，没有考虑到电磁波的传播。但是要得到在一般频率下长光学波的性质，除了晶格振动方程外，还需要考虑能够完整描述电磁场变化的Maxwell方程组，即0H∇⋅=，(4)0πEP∇⋅+=，1=(4)ct∂π∂HEP∇×+，1=ct∂∂HE∇×−，211122ddbbtWWE=+，1222bbPWE=+。(6.1.23)版权归作者所有，请勿翻印133这是一组线形齐次的偏微分方程组，我们关心的是波动形式的解，即待求矢量为i()0etωqrVV⋅−=，(6.1.24)其中V代表W，P，E，和H。代入(6.1.23)式就得00⋅=qH，00(4π)0⋅+=qEP，000(4π)cω×=−+qHEP，00cω×=qEH，20120220bbω−=+WWE，0120220bb=+PWE。(6.1.25)由昀后两式可得2120220211[]bbbωPE=−++，(6.1.26)再代入第二式得到2120222114()[14]0bbbωππqE⋅+−=+。(6.1.27)这里可以有两种情况：A)纵波：00qE⋅≠，这样为满足(6.1.27)式就必须有212222114140bbbωππ+−=+。(6.1.28)把前面已证明过的关系式(6.1.13−15)式代进来，对纵波就得到和LST相同的结果220(0)()Lεωωε=∞。(6.1.21)B)横波：00qE⋅=，(6.1.29)由(6.1.25)式中间的两个式子，就得到00,,qEH这三个矢量是必须互相垂直的，且有00qEHcω=，2120220211(144)bqHbEcbωωππ=+−+。版权归作者所有，请勿翻印134因此就可以推得频率满足的方程2222122202222110(0)()144()bcqbbεεεωωωωωππ−∞=+−=∞++−。(6.1.30)这个方程的解对应横光学波的两个频率()qω±，222222222220001()[(0)((0))4()]2()qcqcqcqωεωεωωεε±=+±+−∞∞，(6.1.31)它们的色散关系式可以用图6.1.1来表示。当波矢大小0q→时，这两个横波解之一趋于零，即(0)cqωε−→，对应的是介质中的低频电磁波；而另一解趋于纵波频率0(0)()Lεωωωε+→=∞，说明在长波极限下横光学模格波和纵光学模格波具有相同的频率，这与LST近似中的结果不同，后者对长波段的横光学模格波描述过于简单。当波矢q非常大时，有0Tωωω−→=,说明短波横光学模格波的频率与LST近似中的结果相同；而()cqωε+→∞，对应的是介质中的高频电磁波。在波长的中间地段电磁波与格波的运动模式混合，被称为极化激元(Polariton)。从以上的结果可以得出介电函数随频率的变化，如图6.1.2所示，图6.1.1极化激元的色散关系图6.1.2介电函数随频率变化版权归作者所有，请勿翻印13521222211()1414[]bPbEbεωωππ=+=+−[phone](0)()()()LTωωεεεωεωωωω−−∞=∞+=∞−−。(6.1.32)在0Lωωω的区间，介电函数为负值，这正对应着图6.1.1中频谱()qω中的禁区对应。垂直入射光的反射率表达式为2()1()()1Rεωωεω−=+，(6.1.33)在负介电系数范围有()1Rω=，即发生全反射，垂直入射的光被禁止进入晶体。如果考虑非简谐作用，会有格波劈裂或合成等过程，晶体会吸收光而产生热量，离子在振动时会受到粘滞阻力的作用，在描述矢量W的运动方程中应加进一项损耗项，211122dd+ddbbttγ=−。(6.1.35)将其代入(6.1.23)式代替(6.1.31)式有22202220(0)()()icqεεεωωωωγω−∞=∞+−−。(6.1.36)从这个方程的解可以看出极化激元的频率一般有虚部，说明它的寿命有限。考虑非简谐作用后可以得到新的介电函数20220(0)()()()iεεεωεωωωγω−∞=∞+−−，(6.1.37)如图6.1.3所示其虚部与实部分别为20222220[(0)()]Im[()]()εεωγωεωωωγω−∞=−+，22200222220[(0)()]()Re[()]()()εεωωωεωεωωγω−∞−=∞+−+。与图6.1.2相比，可以看出介电函数在0ω的奇异点消失，取而代之的是介电函数虚部的一个峰。在原来的“禁区”TLωωω，介电函数的实部依然是负的，但是它有较大的虚部，说明非简谐作用使晶体不再对光进行全发射，而是对投射光进行吸收。吸收来的光能量通过非简谐作用被用来激发更多的格波，产生热量而消耗掉。图6.1.3有损耗时的介电函数示意版权归作者所有，请勿翻印136§6.2极化子在离子晶体和共价晶体中，如果出现了载流子（导带电子或满带空穴），它们产生的库仑场将引起晶格的极化，形成一个极化场。载流子与极化场的结合称为“极化子”(Polaron)，本节将讨论这个问题。首先来看一个传导电子与LO（长光学支）声子的耦合。根据(5.3.3)式，在长波近似下LO声子的位移场可写为iii1()()e(ee)2LQaaNMNMω⋅⋅+−⋅+−−==+∑∑qrqrqrqqqqqqqururee，(6.2.1)在此我们略去了Lω与q的关系。由上节(6.1.9)式得ii()[()()](ee)2LNMaaω⋅+−⋅+−=−=+∑qrqrqqqqWrurure，(6.2.2)再由(6.1.17)式所给出的电场强度与W的关系，可以得到LO声子极化电场的二次量子化形式ii()4π(ee)Faa⋅+−⋅=−+∑qrqrqqqqEre，(6.2.3)其中常数F可以从(6.1.21)，(6.1.22)，(6.1.13)和(6.1.4)四式定出11[]8()(0)LFωεε=−π∞。(6.2.4)如果设电场的势为ii()(ee)φφφ⋅+−⋅=+∑qrqrqqqr，(6.2.5)则有ii()()i(ee)φφφ⋅+−⋅=−∇=−−∑qrqrqqqErrq。(6.2.6)与(6.2.3)式比较，可以得到