合工大电磁场与电磁波第一章习题答案

1第1章1-1在球坐标系中，试求点2π2π6,,33M⎛⎞⎜⎟⎝⎠与点π4,,03N⎛⎞⎜⎟⎝⎠之间的距离（提示：换在至直角坐标系下求解）。解：sincossinsincosxryrzrθϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩∵∴直角坐标系下点M、N的坐标分别是：339,,322M⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠、()23,0,2N−或者（-2.60,4.50,-3.0），(3.46,0,2.0);所以有：()()()222829.05MNMNMNMNxxyyzz=−+−+−==1-2证明球坐标单位矢量的微分：（1）rθθ=−ee∂∂；（2）sinrϕθϕ=ee∂∂。证明：()cossincoscossinsinsinsincoscosxyzxyzrθθϕθϕθθθθϕθϕθ=+−=−−−=−eeeeeeee∂∂∂∂()()sincossinsincossinsinsincossinsincossinrxyzxyxyϕθϕθϕθϕϕθϕθϕθϕϕθ=++=−+=−+=eeeeeeeee∂∂∂∂1-3设sincosabcθθ=−++xyzFeee，式中a，b，c为常数，求积分2π01dd2dθθ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠∫FSF解：dcossindabθθθ=−−∵xyFee2dsincossincosdcossin0abcbcacababθθθθθθθ×=−=−+−−xyzxyzeeeFFeee()2π01sincosdπ2bcacababθθθ∴=−+=∫xyzzSeeee1-4若()2116zr=+De，在半径为2和0π/2θ≤≤的半球面上计算dS⋅∫DS。解：因为ddsindrrrθθϕ=⋅Secoszrθ⋅=ee所以()()()()()2ππ/222002ππ/22200π/2220π/222022d116sindd116sincosdd11162πsin2d211162πcos24116πzrSrrrrrrrrrrθθϕθθθϕθθθ⋅=+⋅=+⋅=+⋅−=+⋅⋅=+⋅∫∫∫∫∫∫DSee将2r=条件代入上式，可得：d260πS⋅=∫DS。1-5设xyzxyz=++reee，r=r，n为整数，试求r∇，nr∇，()fr∇。解：xyzrrrrr∇=++=xyzreee或采用球坐标：sinrrrrrrrrθθϕ∇=++==θrrreeree∂∂∂∂∂∂12nnnrnrrnr−−∇=∇=r()()()''frfrfrrr∇=∇=r1-6矢量A的分量是xffAyzzy=−∂∂∂∂，yffAzxxz=−∂∂∂∂，zffAxyyx=−∂∂∂∂，其中f3是,,xyz的函数，还有xyzxyz=++reee。证明：f=×∇Ar，0⋅=Ar，0f⋅∇=A。证明：（1）f=×∇Ar因为：xyzffffxyz∇=++eee∂∂∂∂∂∂，xyzxyz=++reee，故有xyzxxzfxyzfffxyzffffffyzzxxyzyxzyx×∇=⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠eeereee∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂因此f=×∇Ar，得证。式f=×∇Ar也表明,f⊥⊥∇ArA，所以有0⋅=Ar，0f⋅∇=A。或者证明如下：（2）证明0⋅=Ar()()0ff⋅=×∇⋅=×⋅∇=Arrrrr，得证。（3）证明0f⋅∇=A()()0fffff⋅∇=×∇⋅∇=∇×∇⋅=Arr，得证。1-7求函数2xyzψ=的梯度及ψ在点()2,3,1M沿一个指定方向的方向导数，此方向上的单位矢量345505050=++0xyzleee。解：222xyzxzxyψ∇=++xyzeee在点()2,3,1M，12412Mψ∇=++xyzeee方向导数3451121241215.8450505050Mlψ=×+×+×=≈∂∂41-8在球坐标系中，已知20cos4πePrθΦε=，eP、0ε为常数，试求矢量场Φ=−∇E。解：3300sincossin2π4πeerrrPPrrΦΦΦΦθθϕθθεε=−∇=−−−=+φθrrθEeeeee∂∂∂∂∂∂1-9设S是上半平面()22220xyzaz++=≥，它的单位法线矢量ne与oz轴的夹角是锐角，求矢量场xyzxyz=++reee向ne所指的一侧穿过S的通量。解：矢量场xyzxyz=++reee在球坐标系中的表达式为rr=re；有向面元dS的表达式为：2dsinddrrθθϕ=Se；所以有2ππ/22002ππ/23003dsinddsindd2πrrSrrraθθϕθθϕ⋅=⋅==∫∫∫∫∫rSee。1-10求∇⋅A在给定点的值（1）333xyzxyz=++Aeee在点()1,0,1M−；（2）242xyzxxyz=−+Aeee在点()1,1,3M（3）xyz=Ar在点()1,3,2M，式中的xyzxyz=++reee。解：（1）222333xyz∇⋅=++A，()1,0,16M−∇⋅=A；（2）422xz∇⋅=−+A，()1,1,38M∇⋅=A；（3）()222xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz==++=++Areeeeee2226xyzxyzxyzxyz∇⋅=++=A,()1,3,236M∇⋅=A51-11已知xyzxyz=++reee，rr=re，试求∇⋅r，r∇⋅e，rr∇⋅e，2rr∇⋅e以及()r∇⋅C（C为常矢量）。解：（1）()3xyzxyzxyzxyz⎛⎞∇⋅=++⋅++=⎜⎟⎝⎠reeeeee∂∂∂∂∂∂；（2）2rrrrr∇⋅−⋅∇⎛⎞∇⋅=∇⋅=⎜⎟⎝⎠rrre其中3∇⋅=r2rrrrr⎛⎞⋅∇=⋅==⎜⎟⎝⎠rrr所以232rrrrr−∇⋅==e；（3）2rrrrrrr∇⋅−⋅∇∇⋅=eee2221rrrrrr⋅−⋅==rr（4）2224rrrrrrr∇⋅−⋅∇∇⋅=eee24422220rrrrrrrrr⎛⎞⋅−⋅⎜⎟⎝⎠=−==rr（5）()rrr⋅∇⋅=∇⋅=rCCC。1-12在球坐标系中，设矢量场()fr=Fr，试证明当0∇⋅=F时，()3Cfrr=（C为任意常数）。证明：()fr∇⋅=∇⋅⎡⎤⎣⎦Fr()()frfr=∇⋅+∇⋅rr6()()()()()()'''333frrfrfrfrrrfrfr=∇⋅+=⋅+=+rrr若使0∇⋅=F，即()()'30rfrfr+=，这是一阶微分方程，具体求解方法如下：()()()()()()'33030ln3lnrfrfrdfrdrfrrfrrCCfrr+=+==−+=得证。1-13求矢量场()xyzxyz=++Aeee在点()1,3,2M的旋度以及在这点沿方向22xyz=++neee的环量面密度。解：MMxyzxyzxyzxyz∇×=xyzeeeA∂∂∂∂∂∂()()()34Mxzzyxyyzyzxz=−+−+−=−−+xyzxyzeeeeee()1223=++0xyzneee∵∴环量面密度＝()()1116833∇×=−−+=0Ani1-14设xyzxyz=++reee，r=r，C为常矢，求：（1）∇×r；（2）()[]fr∇×r；（3）()[]fr∇×C；（4）()[]fr∇⋅×rC。7解：（1）0xyzxyz∇×==xyzeeer∂∂∂∂∂∂（2）()()()'frfrrfr∇×=∇×+∇×⎡⎤⎣⎦rrr()'0frr=×=rr（3）()()frfr∇×=∇×⎡⎤⎣⎦CC()()''frrfrr=∇××=CrC（4）()()()()[]frfrfr⎡⎤∇×=⋅∇×−∇×⎡⎤⎣⎦⎣⎦iirCCrrC()'0frr⎡⎤=−×⎢⎥⎣⎦=irrC1-15如果电场强度00cossinrEEθθθ=−Eee，求∇⋅E和∇×E。解：0cosrEEθ=0sinEEθθ=−0Eϕ=0rEr=∂∂0cosEEθθθ=−∂∂()()()220021[sinsin]sin1[2sincos2sincos]0sinrrErErErrErErrθϕθθθθϕθθθθθ∇⋅=++=−=E∂∂∂∂∂∂8()()()22002sin1sinsin1[sin]sin1sinsinsinsin0rrrrrrrrrErErErErEEErrrrrEErθϕθϕθθθϕϕθθθϕθθθϕϕθθθθθ∇×=⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=⋅−+=eeeEeeee∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂1-16试用斯托克斯定理证明矢量场f∇沿任意闭合路径的线积分恒等于零，即d0lf∇⋅≡∫l。证：()ddlSff∇=∇×∇∫∫iilS0f∇×∇≡∵d0lf∴∇≡∫il1-17试证明：如果仅仅已知一个矢量场F的旋度，不可能唯一地确定这个场。证：已知∇×=FV如果F是上述方程的一个解，那么ϕ+∇F也是上述方程的一个解，ϕ为任意可微函数(),,xyzϕ。这是由于()ϕϕ∇×+∇=∇×∇+∇×=∇×=FFFV满足方程。∴这个矢量场不能唯一确定。1-18试证明：如果仅仅已知一个矢量场F的散度，不可能唯一地确定这个场。证：已知F的散度为Ψ，即Ψ∇=Fi()0∇∇×≡A∵i∴如果F是上述方程的一个解，那么+∇×FA也是上述方程的一个解，A为任意可微函数(),,xyzA。因此，仅仅已知一个矢量场F的散度，不可能唯一地确定这个场。1-19证明：ddVSfVf∇=∫∫S，其中f是坐标的函数，S是限定体积V的闭合面。证：设c为任意常矢，则9()ff∇=∇cc∵ii()dddddVVVSSfVfVfVff∴∇=∇=∇==∫∫∫∫∫iiiiiccccScS∵c为任意常矢所以有：ddVSfVf∇=∫∫S1-20证明：ddVSV∇×=−×∫∫FFS，S是限定体积V的闭合面。证：设c为任意常矢，则()()∇×=−∇×cFcF∵ii()()dddVVVVVV∴∇×=∇×=−∇×∫∫∫iiicFcFcF()()dddSSS=−×=−×=−×∫∫∫iiicFScFScFS∵c为任意常矢，所以ddVSV∇×=−×∫∫FFS1-21证明：ddlSuu=−∇×∫∫lS，l是限定曲面S的周界。证：设c为任意常矢，则()uu∇×=∇×cc()()ddddllSSuuuu∴==∇×=∇×∫∫∫∫iiiiclclcScS∵c为任意常矢，ddlSuu∴=−∇×∫∫lS1-22证明：()()22∇∇=∇∇AAii。证：()()2∇=∇∇−∇×∇×AAA∵i10()()()2∴∇∇=∇∇∇−∇∇×∇×⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦AAAiiii()0∇∇×=B∵i∴()()22∇∇=∇∇AAii1-23设有标量函数u，v，证明：()()()2222uvuvvuuv∇=∇+∇+∇∇i。证：()()()2uvuvuvvu∇=∇∇=∇∇+∇⎡⎤⎣⎦ii()()uvuvvuvu=∇∇+∇∇+∇∇+∇∇iiii()()222uvvuuv=∇+∇+∇∇i1-24试证明格林第一定理()()2ddVSVφϕφϕφϕ∇+∇⋅∇=∇⋅∫∫SS是限定体积V的闭合面，式中标量函数φ和ϕ在体积V内具有二阶连续偏导数。证：由高斯散度定理ddVSV∇⋅=⋅∫∫FFS令F等于一个标量函数φ和矢量函数ϕ∇的乘积，即φϕ=∇F（ϕ为另一标量函数），则()2φφφϕφϕ∇⋅=∇⋅∇=∇+∇⋅∇F取上式在任意体积V的积分，并应用高斯散度定理，得()()2ddVSVφϕφϕφϕ∇+∇⋅∇=∇⋅∫∫S这就是格林第一定理（第一恒等式）。上式对于在体积V内具有二阶连续偏导数的任意标量函数φ和ϕ都是成立的。1-25试证明格林第二定理()()22ddVSVϕφφϕϕφφϕ∇−∇=∇−∇⋅∫∫SS是限定体积V的闭合面，式中标量函数φ和ϕ在体积V内具有二阶连续偏导数。证：把格林第一定理中的φ和ϕ交换位置，则有()2ddVSVϕφϕφϕφ∇+∇⋅∇=∇⋅∫∫S将上式与上题中的公式相减得11()()22ddVSVϕφφϕϕφφϕ∇−∇=∇−∇⋅∫∫S这就是格林第二定理（第二恒等式）。