2015-2016数学分析2复习

练习题一第一大题判断题（说明理由）1、若1nna收敛，则1nna收敛。2、0,()1,xfxx为有理数为无理数在]1,0[内可积。3、级数2)1(411nnnnn是收敛的。4、函数项级数1367sinnxnnx在实数集R上一致收敛。第二大题计算题1、求5sincossincosxxdxxx。2、求极限nknnk123lim。3、求60202)1ln(limxdttxx。4、计算曲线)sin(2ttx，)cos1(2ty)20(t的弧长。第三大题判敛题1、判断级数21cos23nnnn绝对收敛、条件收敛还是发散。2、判断无穷积分1sin2xdxx的敛散性。第四大题求幂级数111(1)nnnnx的收敛域及和函数。第五大题计算题1、把2()cosfxx展开成x的幂级数。2、把()fxx在],(展开成傅里叶级数。第六大题证明：cos2lim0npnnxdxx，其中p为正整数。第七大题设函数20()cos3nnnxfxnx，求1lim()xfx。练习题二第一大题判断题（说明理由）1、由于21)1(xx，所以1)1(122222xdxx。2、若0limnna，则1nna一定收敛。3、若正项级数1nna收敛，则1nnna一定收敛。4、级数5cos312nnnn是绝对收敛的。第二大题计算题1、求dxxx421。2、求极限nknknn1223lim。3、求400211limxdttextx。4、求由曲线2xy与直线3yx所围图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。5、设xtdtexf12)(，求10)(dxxf。第三大题判敛题1、判别级数3111131nnnnn）（的敛散性。2、判断无穷积分1322sinxxxdx的敛散性。第四大题求幂级数1nnnx的收敛域及和函数。第五大题计算题1、把451)(2xxxf展开成x的幂级数。2、把xxxf0,20,2)(在],(展开成傅里叶级数。第六大题证明：20sinxdxn20cosxdxn（n为正整数）。第七大题设函数0sin21)(nnnxxf，求20)(dxxf。练习题一答案第一大题判断题解：1.错误。1nna11)1(nnn收敛，但1nna11nn发散。2.错误。将]1,0[用任意分法T分为n个小闭区间],[,],,[,],,[1110nnkkxxxxxx，（其中1,00nxx），则在每一个小闭区间],[1kkxx（nk,,1）上，1kM，0km，1kkkmM。01lim10)(nkkkTlx，所以)(xf在]1,0[上不可积。3.正确。14limeunnn，原级数收敛。4.正确。3736736711sinnxnxnnx，而1371nn收敛，所以由M判别法可知1367sinnxnnx在实数集R上一致收敛。第二大题计算题解：1.5sincossincosxxdxxx)cos(sincossin15xxdxxCx54cos)(sin452.nknnk123limnknnkn11limdxx1032321023x3.60202)1ln(limxdttxx=5406)1ln(2limxxxx=3162lim550xxx4.dtttts2022]))cos1(2[(]))sin(2[(dtt2022sin4220)2cos(8t16第三大题判敛题1.3cos212nnnn3cos212nnnn，而3cos22nnnnn22，可由比值法的极限形式证明122nnn收敛，于是5cos312nnnn收敛，即5cos312nnnn绝对收敛。2.设xxf1)(，xxg2sin)(。xxf1)(在),1[单调，且01limxx，1A，dxxA12sindxxA12sin212cos2cos21A1)2cos2cos(21A由狄里克雷判别法知1sin2xdxx收敛。第四大题计算题解：11limlim1nnaannnn，所以收敛半径1R。当1x时，级数为nnn11)1(，发散；当1x时，级数为1nn，发散；于是幂级数的收敛域为)1,1(。在)1,1(内设幂级数的和函数为)(xS，即)(xS111(1)nnnnx两边从0到x积分，得xdttS0)(nnnx11)1(xx1,两边对x求导，得2)1(1)111()1()(xxxxxS)1,1(x．第五大题计算题解：1.22cos1cos2xx02)!2()1(cosnnnnxx，于是022)!2(2)1(2cosnnnnnxx21cos2x0212)!2(2)1(nnnnnx1212)!2(2)1(1nnnnnx。2.)(xf在),(为奇函数，所以dxxfa)(100，nxdxxfancos)(10，nxdxxfbnsin)(10sin2nxdxxnn2)1(1，所以，11sin2)1()(nnnxnxxfx当x时，傅里叶级数收敛于02)0()0(ff。第六大题证明题证明：由积分中值定理，存在],[pnnc，使ccpdxxxpnn2cos2cospnnndxxxcoslim02coslim2coslimccpccpcn。第七大题计算题]2,0[x，nnnxnx)32(cos32，nn)32(0收敛，由M判别法知02cos3nnnxnx在]2,0[一致收敛。且函数2cos3xnxnn在]2,0[连续，1lim()xfx021cos3limnnnxxnx021cos3limnnnxxnx01(-)3nn13141+3。练习题二答案第一大题判断题解：1.错误。因为201limxx，0x为瑕点，不能用求定积分的牛顿-莱布尼茨公式来计算。正确做法：dxxdxxdxx202022222111，而211lim)1(lim1lim10202020202xdxxdxx，于是dxx2221发散。2.错误。反例：11nn，nnalim01limnn，但是11nn发散。3.正确。nnnanalim01limnn，正项级数1nna收敛，由比较法极限形式知1nnna收敛。4.正确。5cos312nnnn5cos312nnnn，而5cos32nnnnn32，可由比值法的极限形式证明123nnn收敛，于是5cos312nnnn收敛，即5cos312nnnn绝对收敛。是绝对收敛的。第二大题计算题解：1.设]2,2[,sinxtx，tdtdxcostdttdtttdxxx224242cotcscsincos1Cttdt32cot31cotcotCxx332)1(312.nknknn1223limnnknkn1)(13lim12dxx10211343arctan310x3.3204004112lim11lim22xxexxdttexxxtx3302042lim11limxxxxx214.21221212)2()3(dxxdxxVVVx314)339(212132xxxx5.)()()(101010xdfxxxfdxxfdxexdxxfxx21010)(02121)(2111010222eexdexx.第三大题判敛题1.设12113nnnan，311)1(nbnn。}{na单调递减，且21na，即}{na有界；由莱布尼茨判别法知1nnb31111nnn）（收敛，所以由阿贝尔判别法知级数3111131nnnnn）（收敛。2.343312122sinxxxxxx，由dxx1341收敛知1322sinxxxdx收敛。第四大题计算题解：1111limlim1nnaannnn，所以收敛半径1R。当1x时，级数为11nn，发散；当1x时，级数为11)1(nnn，由莱布尼茨定理知其收敛；于是幂级数的收敛域为)1,1[。在)1,1(内设幂级数的和函数为)(xS，即11)(nnxnxS于是xxxSnn11)(11．两边从0到x积分，得)1ln(11)0()(0xdxxSxSx，注意到0)0(S，于是)1ln()(xxS．因为级数处收敛，在111xxnnn和函数1)1ln(xx在处有定义且连续，所以在)1,1[内1nnnx)11()1ln(xx　　．第五大题计算题解：1.)4111(31)1141(314512xxxxxx4111211131xx又011nnxx，)1,1(x0)4(411nnxx，)4,4(x所以314512xx1210nnx010)411(31)4(nnnnnxx，)1,1(x2.)(xf在),0()0,(为奇函数，所以0na。0sin)(2nxdxxfbn0sin4nxdxbn])1(1[4nn所以，1sin])1(1[4)(nnnxnxf当0x时，傅里叶级数收敛于02)00()00(ff当x时，傅里叶级数收敛于02)0()0(ff第六大题证明：对20sinxdxn，设tx2，dtdx，20tx；02tx。20sinxdxn02)2(sindttn20costdtn20cosxdxn（定积分和积分变量无关）第七大题解：]2,0[x，nnnx21sin21，021nn收敛，由M判别法知0sin21nnnx在]2,0[一致收敛。且函数nxnsin21在]2,0[连续，于是20)(dxxf000sin21012020nnnxdxdx。