导数习题分类精选 2

1导数定义例1．11)(2xbaxxxxfy在1x处可导，则ab思路：11)(2xbaxxxxfy在1x处可导，必连续1)(lim1xfxbaxfx)(lim11)1(f∴1ba2lim0xyxaxyx0lim∴2a1b例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）hhafhafh2)()3(lim0；（2）hafhafh)()(lim20分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在ax处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）hhafafafhafhhafhafhh2)()()()3(lim2)()3(lim00bafafhafhafhafhafhhafafhafhafhhhh2)('21)('23)()(lim213)()3(lim232)()(lim2)()3(lim0000（2）hhafhafhafhafhh22020)()(lim)()(lim00)('lim)()(lim0220afhhafhafhh例3．观察1)(nnnxx，xxcos)(sin，xxsin)(cos，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若)(xf为偶函数)()(xfxf令)()()(lim0xfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfxfxx)()(lim)()(lim)(00)()()(lim0xfxfxxfx∴可导的偶函数的导函数是奇函数另证：)()()(])([xfxxfxff已知函数()fx在定义域R上可导，设点P是函数()yfx的图象上距离原点O最近的点.2(1)若点P的坐标为(,())afa,求证：'()()0afafa;(2)若函数()yfx的图象不通过坐标原点O,证明直线OP与函数()yfx的图象上点P处切线垂直.证：(1)设Q(x,f(x))为y=f(x)上的动点，则|OQ|2=x2+f2(x)，设F(x)=x2+f2(x),则F'(x)=2x+2f(x)f'(x)已知P为y=f(x)图形上距离原点O最近的一点，∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x)在x=a处有最小值,亦即F(x)在x=a处有极小值∴F'(a)=0，即2a+2f(a)f'(a)=0(2)线段OP的斜率为a)a(f，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f'(a)由(1)知f(a)f'(a)=–a，∴图象不过原点，∴a0，∴a)a(ff'(a)=–1∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.利用导数证明不等式例6．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（相减）（2）xx2sin)2,0(x（相除）（3）xxxxtansin)2,0(x证：（1）)2()1ln()(2xxxxf0)0(f011111)(2xxxxxf∴)(xfy为),0(上∴),0(x0)(xf恒成立∴2)1ln(2xxx)1ln()1(2)(2xxxxxg0)0(g0)1(4211)1(42441)(22222xxxxxxxxg∴)(xg在),0(上∴),0(x0)1ln()1(22xxxx恒成立（2）原式2sinxx令xxxf/sin)()2,0(x0cosx0tanxx∴2)tan(cos)(xxxxxf∴)2,0(x0)(xf)2,0(32)2(f∴xx2sin（3）令xxxxfsin2tan)(0)0(fxxxxxxxf222cos)sin)(coscos1(cos2sec)()2,0(x0)(xf∴)2,0(∴xxxxsintan（理做）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln2()10xafxxxx，，故()()2ln20Fxxfxxxax，，于是22()10xFxxxx，，列表如下：x(02)，2(2)，∞()Fx0()Fx极小值(2)F故知()Fx在(02)，内是减函数，在(2)，∞内是增函数，所以，在2x处取得极小值(2)22ln22Fa．（Ⅱ）证明：由0a≥知，()Fx的极小值(2)22ln220Fa．于是由上表知，对一切(0)x，∞，恒有()()0Fxxfx．从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)，∞内单调增加．所以当1x时，()(1)0fxf，即21ln2ln0xxax．(利用单调性证明不等式）故当1x时，恒有2ln2ln1xxax．（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a)ln2.．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'1()11fxx，令'()0fx，解得x=0，当-1x0时,'()0fx,当x0时,'()0fx，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：22g()()2()lnln()lnlnln22abababagbgaabbabababab.由(I)的结论知ln(1)0(1,0)xxxx且，由题设0ab,得0,1022baabab,因此2lnln(1)22ababaabaa，2lnln(1)22babababbb所以22lnln022abbaabababab4又22aababb2222lnlnlnln()ln()ln22ababbbababbabaababbabab综上0()()2()()ln22abgagbgba(II)证法二：()lngxxx，'()ln1gxx，设()()()2()2axFxgagxg，则'''()()2[()]lnln22axaxFxgxgx，当0xa时'()0Fx，因此F(x)在(0,a)内为减函数当xa时'()0Fx，因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即0()()()2abgagbg设()()()ln2GxFxxa,则'()lnlnln2lnln()2axGxxxax当x0时,'()0Gx,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,ba,所以G(b)0.即()()2()()ln22abgagbgba（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)设函数21fxxaInx有两个极值点12xx、，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：21224Infx解:（I）2222(1)11axxafxxxxx令2()22gxxxa，其对称轴为12x。由题意知12xx、是方程()0gx的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为480(1)0aga，得102a⑴当1(1,)xx时，0,()fxfx在1(1,)x内为增函数；⑵当12(,)xxx时，0,()fxfx在12(,)xx内为减函数；⑶当2,()xx时，0,()fxfx在2,()x内为增函数；（II）由（I）21(0)0,02gax，222(2)axx+222222222221(2)1fxxalnxxxxlnx+2设221(22)1()2hxxxxlnxx，则22(21)122(21)1hxxxlnxxxlnx⑴当1(,0)2x时，0,()hxhx在1[,0)2单调递增；⑵当(0,)x时，0hx，()hx在(0,)单调递减。51112ln2(,0),()224xhxh当时故22122()4Infxhx．已知函数xxf)(，)1ln()(xxg，.1)(xxxh（1）证明：当0x时，恒有);()(xgxf（2）当0x时，不等式)0()(kxkkxxg恒成立，求实数k的取值范围;解：（1）设)()()(xgxfxF，则)('xF=xxx1111，当0x时，0)('xF，所以函数)(xF在（0，)单调递增，又)(xF在0x处连续，所以0)0()(FxF，即0)()(xgxf，所以)()(xgxf。（2）设xkkxxgxG)()(，则)(xG在（0，)恒大于0，xkkkxxG2)1ln()(，22222))(1()2()(11)('xkxxkkxxkkxxG，0)2(22xkkx的根为0和,22kk即在区间（0，)上，0)('xG的根为0和,22kk若022kk，则)(xG在)2,0(2kk单调递减，且0)0(G，与)(xG在（0，)恒大于0矛盾；若022kk，)(xG在（0，)单调递增，且0)0(G，满足题设条件，所以022kk，所以.20k。（1）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（2）已知：2nNn且，求证：11211ln13121nnn。（1）令tx11，由x0，∴t1，11tx6原不等式等价于1ln11ttt令f(t)=t-1-lnt，∵ttf11)(当),1(t时，有0)(tf，∴函数f(t)在),1(t递增∴f(t)f(1)即t-1lnt另令tttg11ln)(，则有01)(2tttg∴g(t)在),1(上递增，∴g(t)g(1)=0∴tt11ln综上得xxxx11ln11（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得112111ln23ln12ln13121nnnn即得11211ln13121nn利用导数求和例7．利用导数求和：（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式1)'(nnnxx，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，；当x≠1时，，两边都是关于x的函数，求导得即（2）∵，两边都是关于x的函数，求导得。7令x=1得，即。单调区间讨论例．设0a，求函数),0()(ln()(xaxxxf的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：)0(121)(xaxxxf.当0,0xa时0)42(0)(22axaxxf.0