北京四中---高中数学高考综合复习 专题二十八 简单几何体

1高中数学高考综合复习专题二十八简单几何体一、知识网络二、高考考点1.正棱柱或正棱锥的概念与认知；2.棱柱、棱锥的表面积与体积；3.以棱柱、棱锥为载体的垂直关系或平行关系的证明，角与距离的寻求与计算；4.球的有关问题：表面积、体积、球面距离、经纬度以及基本的“接”与“切”问题。三、知识要点(一）棱柱1、棱柱的概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。在这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱；其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线；两个底面的距离叫做棱柱的高。点拨：（1）根据定义判定一个多面体是否为棱柱，一般是首先看“面”，即考察该多面体是否有两个面互相平行，并且除这两个面之处的其余各面都是四边形；其次看“线”，即考察每相邻两个四边形的公共边是否平行。在这里，同一棱柱的底面的选择也会有不同方案，解题时要注意这种特殊棱柱的底面可变性的应用。（2）注意区别两个概念：2①棱柱的棱与棱柱的侧棱；②棱柱的对角线与棱柱某一面的多边形的对角线。2、棱柱的分类（1）按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、……、n棱柱；（2）按侧棱与底面的关系分类。特例：（Ⅰ）四棱柱的分支（或特殊情形）：循着由一般到特殊的途径其中，特别注意（Ⅱ）长方体的特性①长方体的对角线的平方，等于它的长、宽、高的平方和②设对角线与各棱所成的角分别为α，β，γ，则③设对角线与各面所成的角分别为α，β，γ，则3、棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；（3）经过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；4、面积与体积（1）设柱体（棱柱或圆柱）的底面积为S，高为h，则柱体的体积（2）设棱柱的侧棱长为，直截面（垂直于侧棱的截面）的周长为C，面积为S，则棱柱的体积：；3棱柱的侧面积：。（二）棱锥1、棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥；这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。提醒：由上述定义可知，棱锥有两个本质的特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，这二者缺一不可。“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体不一定是棱锥。特例：三棱锥（即四面体）的任何一个面都可以作为底面（三棱锥底面的可变性），这是其它棱锥所不具备的；运用体积法求距离，就是利用三棱锥的体积及其底面的可变性；值得注意的是，一个三棱锥的四个面可以都是直角三角形。2、棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。3、正棱锥（1）正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面内的射影为底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。（2）正棱锥性质：（Ⅰ）各侧棱相等；各侧面都是全等的等腰三角形；各等腰三角形底边上的高（正棱锥的斜高）相等。（Ⅱ）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形；提醒：正棱锥必须满足两个条件：一是底面为正多边形；二是顶点在底面上的射影恰为底面多边形的中心，这二者缺一不可。正棱锥除去上面指出的两个直角形外，正棱锥的底面半径、边心距和半边长也组成一个直角三角形；正棱锥侧面上的侧棱、相应的斜高和半边长也组成一个直角三角形，这些特殊的三角形是解决正棱锥问题的基础和突破口。4、面积与体积（1）设正棱锥的底面周长为C，斜高为h′，则它的侧面积4（2）若一个棱锥所有的侧面与底面组成二面角都等于锐角α，并且顶点在底面上的射影在底面多边形的内部，则有（3）设锥体（棱锥或圆锥）的底面积为S，高为h则锥体的体积。认知：由柱体和锥体的体积的阅读材料可知，任何一个三棱柱都可以分割成体积相等的三棱锥，反之，以任何一个三棱锥为基础都可以补充成同底等高的三棱柱。这种割补化归的思想是立体几何中的重要思想，解题时应注意这种思想和手段的运用。（三）球1、球的概念（1）定义球面：；球：。（2）球的元素球的半径：连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。球的直径：连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。2、球的截面的性质用一个平面去截球，截面是圆面，球的截面有如下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面。（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系：其中（Ⅰ）当d=0时，截面过球心，此时截面面积最大。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。（Ⅱ）当d=r时，平面与球面相切。（Ⅲ）当0dR时，平面与球面相交但不过球心。球面被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。3、球面距离在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。球面上经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长，叫做这两点的球面距离。4、面积与体积设球的半径为R，则球的表面积；球的体积。5四、经典例题例1、已知在三棱柱在底面ABC内的射影O恰为AC中点，试求：（1）AB与侧面AC1所成的角；（2）侧面ABB1A1与侧面ACC1A1所成的角；（3）三棱柱的侧面积；（4）三棱柱的体积。分析：对于（1），为表示所求角，从寻找或构造侧面AC1的垂线切入；对于（2），切入与突破则是利用题设条件构造该二面角的平面角。解：（1）∴为，且。∵，∴平面平面ABC又∴BC⊥平面AC1∴∠BAC是AB与侧面AC1所成的角。由中AC=BC得，∴AB与侧面AC1所成的角为；（2）在侧面AC1内作CE⊥AA1于E，连结BE。∵BC⊥平面AC1∴EC为EB在平面AC1内的射影∴EB⊥AA1∴∠BEC为侧面AB1与侧面AC1所成二面角的平面角∵O为AC中点∴在中，∠A1AO=60°6在中，∴在中，即∴所求侧面AB1与侧面AC1所成角为（3）在这里，对于只用一个顶点A的∠A1AC、∠BAC、∠EAB有（证明从略）∴∴(4)∵O为AC中点，∴，即三棱柱的高为，又∴点评：（1）这里借用了前面所指出的以直线与平面所成角为基础构造的三个角α，β，γ间的关系式，其中γ是不以斜线射影为边的角。7（2）我们从例1、例2看到，尽管三棱柱为斜三棱柱，但仍会是一个侧面与底面垂直或一个侧面为矩形。例2、（1）已知正三棱锥P-ABC中，M、N分别为侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此正棱锥的侧面积与底面积之比为。（2）若三棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，又设P、A、B、C所对面的面积分别S、S1、S2、S3，则S=。分析：（1）为寻找侧面与底面的联系，取BC中点为E，连结AE、PE，并且令再连结AF，则，，为二面角P-BC-A的平面角。令。由MN为的中位线知：F为PE中点，且又∵平面AMN⊥平面PBC，且它们的交线为MN，∴PE⊥平面AMN∴而F为PE中点∴为等腰三角形，且AP=AE（由已知条件认知相关三角形）令AB=2a，则①在中，由，，得，∴②在中，由①，②得注意到，故得，即所求正三棱锥的侧面积与底面积之比为：1。（2）为沟通侧面与底面的联系，过点P作平面ABC于H，连结AH并延长交BC于D，连结PD。8∵，∴平面PBC∴又在中∴∴∴①同理②③∴①+②+③得即点评：为了沟通底面与侧面的联系，对于（1），构造出截面并认识到，为等腰三角形为解题突破的关键；对于（2），构造出截面并认识到PH是及其斜边上的高则是上挂下连，化生为熟的重要一环。以构造适当的截面沟通底面与侧面（或上与下）的联系，乃是值得品悟的策略与经验。例3、在半径为1的球面上有A、B、C三点，A和B，A和C的球面距离均为，B和C的球面距离为，经过A、B、C三点作截面，求球心到截面的距离。分析：这里已知球半径R=1，要求球心到截面的距离d，首先需要认知截面，进而认知的外心（截面圆圆心）。解：由题设条件知：，，∴，BC=1取BC的中点为D，连结AD，OD则又9∴平面OAD，∴平面平面OAD，且平面平面OAD=AD。在平面OAD内过点O作于H，则平面ABC，且H为截面圆圆心（的外心）因此，又由已知，得，AO=1∴∴于是，在中，由等积变换得，即所求球心到截面的距离为点评：对于问题中出现的三棱锥O-ABC，我们仍从构造截面入手去沟通有关量之间的关系。截面的特性一旦被认知，解题便胜利在望。例4、已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为l，相邻两侧棱的夹角为，求它的外接球的体积。分析：只要求出球的半径R，为此，循着与球半径的由远到近的关系，首先利用已知条件求出正三棱锥底面边长AB，再而求出球的截面圆（的外接圆）半径，进而通过解求得R的值。解：作底面ABC于D，则D为正的中心，设外接球心为O，则底面ABC,∴P、O、D三点共线（认知图形）∵PA=PB=PC=l，∠APB=2α∴在中，由余弦定理得10∴又设∠APD=β，作OE⊥PA于E，则E为PA中点∴在中，而OP=OA=R，∴在中，，∴。点评：注意到球面上两点间的连结线段，乃是球的大圆的弦。因此，面对图形中的线段PA，要想到它是大圆的弦，因而利用圆的弦的性质去解题，这是此类问题沟通联系的关键。五、高考真题（一）选择题1.（2005·广东卷）已知高为3的直棱柱ABC-的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.分析：由题设得，∴，应选D2.（2005·江苏卷）在正三棱柱中，若AB=2，，则点A到平面的距离为（）A.B.C.D.分析：注意到有关三棱锥体积和三角形面积易求，故考虑运用“体积法”。11设点A到平面的距离为h。由题设得，∴由得，由此解得，应选B。3.（2005·全国卷）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，EF=2，则该多面体的体积为（）A.B.C.D.分析：对于楔形几何体的体积，一般是通过“分割”，转化为寻求锥体体积。为此，取EF中点为P，连结PA、PB、PC、PD，则由已知得E-PAD，F-PBC均为正四面体，P-ABCD为正四棱锥。又正四棱锥P-ABCD的高，∴而∴原几何体体积为：，应选A。4.（2005·重庆卷）如图，在体积为1的三菱锥A-BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG，CDE，DBF的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于（）A.B.C.D.分析：运用“特例法”，取三棱锥为特殊的正四面体，则上述三平面的交点O一定在正四面体的高AP上。12连结DP并迎长交BC边于M，则M为BC中点，且M、O、G三点共线。注意到，欲求，首先寻找三棱锥O-BCD的高OP与正四面体的高AP的联系，从构造相似切入。在平面ADP内作于N，则平面BCD∴∵，∴①又②∴得∴③再注意到④∴由③、④得⑤于是由⑤得而故得，应选C。5.（2005·全国卷II）将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A.B.C.D.分析：考察4个钢球在正四面体容器内的存在状态，注意到正四面体的一个内切球的球心到顶点距离为3r，所以，13当4个球都与正四面体的面相切时，正四面体的高分为三部分：4个钢球中最上端的球心到顶点的距离为3，下面三个球心到底面的距离为1，中间部分即四个球心构成的正四面体的高为，于是已知此时正四面体的高为，本题应选C。6.（2005·江西卷）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A.B.C.D.分析：本题主要考察空间想象能力，在审题过程中迅速找到球心位置。设矩形对角线交点为O，则点O到A、B、C、D各项点距离相等，距离为，折叠后，点O到空间图形中A、B、C、D的距离不变。∴O为四面体ABCD的外接球的球心，球面半径为。∴，应选C。二、填空题1.（2