高一复习 解析几何

高一期末总复习解析几何陈文东问题一.直线方程与直线的斜率1.直线的倾斜角：（1）定义.（2）倾斜角的范围2.直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k=tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；解析几何［0，π).(2)斜率公式：经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为；(3)应用：证明三点共线：kAB=kBC.且共点②实数x,y满足3x-2y-5=0(1≤x≤3)，则的最大值、最小值分别为.)(212121xxxxyykxy1,32练习1.已知直线:y=kx-2和两点P（1，2）、Q（-4，1）,若与线段PQ相交，求k的取值范围；llyxOMQP由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2），1(2)3(4)04MQk2(2)410MPk∴要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是k≥4和k≤-3/4考点一.有关斜率问题2.若函数且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是A、＞＞B、＞＞C、＞＞D、＞＞aaf)(bbf)(ccf)(aaf)(bbf)(ccf)(ccf)(bbf)(aaf)(bbf)(aaf)(ccf)(aaf)(ccf)(bbf)()1(log)(2xxf)1(log2)(xfx【解析】B把、、分别看作函数图像上的点与原点连线的斜率,对照草图可得答案（1）点斜式：已知直线过点其斜率为k，则直线方程为，它不包括垂直于x轴的直线.(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k，则直线方程为y=kx+b，它不包括垂直于x轴的直线.),(00yx)(00xxkyy（3）两点式：已知直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线.（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线均可写成Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的形式.121121xxxxyyyy1byax注意：（1）直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？)(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为±1或直线过原点.例如过点A（1，4），且纵横截距的绝对值相等的直线共有3条.1.求过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程。)4,3(Pxy34102yx(1)当直线过原点时,方程为(2)当直线不经过原点时,练习二.注意在求直线方程时每一种形式的局限性如①经过（2，1）的直线的点斜式方程是.②直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0，不管m怎样变化恒过点.③若曲线y=a|x|与y=x+a(a0)有两个公共点，则a的取值范围是.)2(31xy（-1，-2）a13且斜率为2.问题四.点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离为(2)两平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离为问题五.直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系：（1）平行A1B2-A2B1=0（斜率）且B1C2-B2C1≠0(在y轴上截距)；（2）相交A1B2-A2B1≠0;（3）重合A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0.;2200BACByAxd.2221BACCd注意：（1）仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直A1A2+B1B2=0.如①设直线l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m=时，l1∥l2；当m=时l1⊥l2；当时l1与l2相交；当m=时l1与l2重合.2121212121212121CCBBAA、BBAA、CCBBAA-132113mm且②已知直线l的方程为3x+4y-12=0，则与l平行，且过点（-1，3）的直线方程是.③两条直线ax+y-4=0与x-y-2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是..3x+4y-9=0-1＜a＜2（1）点关于点对称（2）点关于线对称（3）线关于点对称1.已知直线l:2x-3y+1=0,点A（-1，-2），求：（1）点A关于直线l的对称点的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线方程；（3）直线l关于点A(-1，-2)对称的直线的方程；2.将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（-2，0）重合，且点（2003，2004）与点（m,n）重合，那么n-m=;[解析]1.点（0，2）与点（-2，0）的连线平行于点（2003，2004）与点（m,n）的连线3.若点P（a，b）与Q（b-1，a+1）关于直线对称，则的方程为[解析].直线斜率为-1，经过PQ的中点，方程为01yx)21,21(baba01yx6.对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点M（a,b）与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为.（2）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（-2，7），则l的方程是.（3）已知一束光线通过点A（-3，5），经直线l：3x-4y+4=0反射.如果反射光线通过点B（2，15），则反射光线所在直线的方程是__________________（b，a）y=3x+318x+y-51=0【解题思路1】：设出直线l的点斜式方程，分别与直线l1，l2建立方程组，求出交点坐标，再用中点坐标公式求出k,即可求出l的方程；解析1：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1联立解得交点坐标是联立解得交点坐标是而点P（0，1）是AB的中点，∴，解得k=-，故所求的直线方程为：x+4y-4=0；1280{,ykxxy782(,)22KAKK7101(,)3131KBKK7723102kk14（4）过点P（0，1）作直线l，使它被两直线l1:2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程.【解题思路2】：设出l,l1的交点A坐标（），通过中点坐标公式求出l与l2的交点B的坐标，然后分别将A,B两点的坐标带入直线l1，l2的方程,联立方程组进行求解;解析2：设直线l与已知l1，l2的交点A（）,B（）∵P是AB的中点∴即带入l2的方程的，得即联立解得A(4,0)故所求的直线方程为：，即x+4y-4=0.12120212{,xxyy21212{,xxyy1111340280{xyxy1,1yx1,1yx1,1yx010)2(3)(11yx04311yx(5)两平行直线，分别过点P（-1，3），Q（2，-1）它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则之，间的距离的取值范围是（）1l2l1l2l)2,3(),1,1(BAA．B.（0，5）C.D.[解析]最大值为P，Q的距离，即5，选C(6).求过原点且与两定点距离相等的直线的方程[解析]直线过线段AB的中点或平行于直线AB，故方程为或0,0,50,1702yx043yx21x2225y21mx174mym0:l已知圆，直线证明不取何值，直线过定点⑵证明直线恒与圆C相交ll问题七.圆的方程：（1）圆的标准方程：（x-a）2+(y-b)2=r2.（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，只有当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是什么？（A=C≠0，且B=0且D2+E2-4AF0））.如①圆C与圆（x-1）2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为.②圆心在直线2x-y=3上，且与两坐标均相切的圆的标准方程是.)2,2(EDFED42122(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1x2+(y+1)2=1131a问题八.点与圆的位置关系：已知点M（x0,y0）及圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2(r0),(1)点M在圆C外|CM|r(x0-a)2+(y0-b)2r2;(2)点M在圆C内|CM|r(x0-a)2+(y0-b)2r2;(3)点M在圆C上|CM|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2.如点P（5a+1,12a）在圆（x-1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是.点与圆的位置关系：在圆内在圆上在圆外问题九.直线与圆的位置关系：直线l：Ax+By+C=0和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：),(00yxM022FEyDxyx0002020FEyDxyx0002020FEyDxyx0002020FEyDxyx（1）代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ0相交；Δ0相离；Δ=0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；d=r相切.如①圆2x2+2y2=1与直线x+y-1=0的位置关系为.②若直线ax+by-3=0与圆x2+y2+4x-1=0切于点P（-1，2），则ab的值.③直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于.相切2541.若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．(4,0)Al22(2)1xyl[3,3](3,3)33[,]3333(,)3322(1)18xy(2,1)P1yx34110xyBA,6AB（天津卷15）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为__________________．3.直线与圆相交于M,N两点,若,则k的取值范围是A.B.C.D.3ykx22324xy23MN304，304，，3333，203，【答案】A问题十.圆与圆的位置关系：已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1,r2，则（1）当|O1O2|r1+r2时，两圆外离；（2）当|O1O2|=r1+r2时，两圆外切；（3）当r1-r2|O1O2|r1+r2时，两圆相交；（4）当|O1O2|=|r1-r2|时,两圆内切；(5)当0≤|O1O2||r1-r2|时，两圆内含.2.若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则___________。224xy22260xyay23【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析：由知的半径为，由图可知解之得22260xyay26a222)3()1(6aa1a问题十一.圆的切线与弦长：（1）切线：①过圆x2+y2=R2上一点P（x0,y0）圆的切线方程是：xx0+yy0=R2，过圆(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P（x0,y0）圆的切线方程是(x0-a)+(y-b)(y0-b)=R2.②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；④