40基于二胎政策影响的数学模型

基于二胎政策影响的数学模型南京理工大学2012级张坤华抟曾小婉摘要本文通过对我国近年来人口数据，采用logistic模型与Leslie模型，建立了预测未来中国在现有政策下，单独二胎政策下，放开二胎政策下人口增长的模型，以及单独二胎政策对江苏人口、经济、教育、住宅方面的影响，通过上述模型分析，来评估二胎政策的利弊，以及是否需要放开二胎，何时放开二胎的问题。问题1:预测2060年我国人口数及人口结构、以及老龄化程度.建立logistic人口阻滞增长模型，利用1954年到2012年总人口数进行拟合，再进行预测，将预测值与国家统计局数据进行比较，发现建立的模型预测效果良好。，运用该曲线预测2060年总人口为1616599999。人口结构以及老龄化程度采用Leslie模型进行，使用国家统计局给出的2000年的有关数据，构造Leslie矩阵。以每5年为一个年龄段，首先预测2001至2060年各年段人数，再用预测得到数据进行分析，在以0至20为幼龄期，21至65为中青年期，65以上为老年期分别统计人数，然后对其人口数发展情况进行分析，得出幼年期：85374879人，中青年期：403771512人，老年期：627862149人.对于老龄化程度问题，由以上数据看出老年人所占比重为,十分惊人。还可得出老年人数增长曲线，通过预测可以看出人口老龄化已经成为刻不容缓的问题，亟需出台相关政策调节人口结构，这也是开放二胎的重要原因。问题2：建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育等)的影响。采用Leslie改进模型：94)(),()1(iibttAxtx。仍以国家统计局给出的2010年江苏省的有关数据，构造Leslie，同样以5年为一个年龄段建立矩阵A（t）。通过改变控制变量β（t）的值达到拟合单独二胎政策的目的，从而求出之后60年江苏人口变化，人口红利的变化。在建立平均值模型，分别评估对教育、住宅的影响。即教育资源以在校人数多少来衡量，分别从教育网上查到2003年至2007年各阶段教育的在校人数，求出平均值，以此为标准，即假设江苏省教育资源稳定在这一水平。在用改进的Leslie模型计算出各个对应年龄层的人数，用上面的标准比上对应的人数，值越小，则这个阶段的教育资源越紧张，也就需要更多投入，即对教育的影响。关于住宅，通过查找资料，得到江苏2004年至2011年住宅总面积，根据这几组数据，拟合出住宅面积变化的曲线，并对之后住房面积进行预测，再用该面积比上对应年分的人数，即得那一年的人均住宅面积，比上小康水平30㎡\人，即得住宅影响因数。通过这个数据评估对住宅的影响。问题3:评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。依然采用问题2的模型，根据国家统计局2010年给出的数据，构造Leslie矩阵，采用改进模型，使用单独二胎政策时，改变β的值进行预测，然后从人口结构的角度进行评估，即考虑人口老龄化，人口红利，以及抚养比，同时也预测出完全放开二胎的情况。将以上两组数据进行比较，得出是否需要开放二胎，同时与标准值相比较，推测出何时开放比较合适。关键词：logistic人口模型Leslie人口模型人口增长预测单独二胎1.问题重述随着社会经济的进一步发展，我国人口面临新的问题：一方面，人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等等，要求我们需要放开计划生育的约束；另一方面，过快增长的人口对于住房、教育、环境资源等又来来更多的压力。2011月15日，《中共中央关于全面深化改革开放若干重大问题的决定》终于出台了。《决定》中关于逐步放开二胎的政策引起了人们的热议。目前，根据《决定》中的政策，许多省份已经逐渐放开了计划生育的约束，开始实行“单独二胎”政策，即夫妻双方有一方为独生子女，就允许生第二胎。试请建立数学模型，解决以下问题：1、查阅相关数据，建立数学模型，预测2060年我国人口数及人口结构、以及老龄化程度。2、江苏省单独二胎政策于2014年3月28日起正式施行。查阅相关数据，根据江苏的实际情况，建立合理的评价体系，并建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育，医疗卫生等）的影响。3、评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。2、问题分析问题1.预测2060年我国人口数，人口结构以及老龄化程度。本文分别用logistic模型与Leslie模型进行预测，然后与实际值相比较，同时两组数据也相互比较。会发现logistic模型对人口数目预测较准确，而无法得出人口结构以及老龄化程度。Leslie对人口预测偏差较大，而可以预测人口结构，故可分别取其结果，进行预测分析。问题2.建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育等)的影响。首先是建立合理的模型来预测“单独二胎”政策后江苏人口变化，本文采用Leslie的改进模型进行预测，假设严格执行生育政策，通过改变其中的参数即可达到合理预测，且预测结果与预期相符。然后根据人口结构，通过人口红利可反映对经济的影响。“单独二胎”对住房、教育的影响本质上是人口变化带来的影响。于是采用人均模型进行评估。其中教育资源采用在校人数描述，在用该在校人数除以对应年龄人数表示人均教育资源占有率，住宅采用人均住宅面积表示，并引入影响度概念，通过以上两个影响度描述影响。问题3.评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。先假设没必要，即采用问题2中的模型预测全国未来50年的人口变化，得出人口结构分布，然后通过抚养比，老龄化人口比例，人口红利进行评估，是否为有利于社会发展的人口结构。若有必要在计算完全二胎情况下，预测全国未来50年的人口变化，人口结构分布，以及抚养比，老龄化人口比例，人口红利，再选择开放二胎的时间，计算以上比例并作出图像，与合适的比例相比较，最终确定合适的开放时间，使各项指标稳定在合适范围内的时间更长。三、问题假设1、在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题。2、假设在预测的过程中不发生人数骤减的情况。3、假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化。4、假设查得的数据真实有效。5、在构造Leslie矩阵，设置β（t）时，假设严格执行生育政策，且执行二胎前，均满足单独二胎政策。即有一方为独生子女。四、名词解释及符号说明人口红利：是指一个国家的劳动年龄人口占总人口比重较大，抚养率比较低，为经济发展创造了有利的人口条件，整个国家的经济成高储蓄、高投资和高增长的局面。生育率：指不同时期，不同地区妇女或育龄妇女的实际生育水平或生育子女的数量。人口抚养比：人口抚养比是指总人口中非劳动年龄人数与劳动年龄人数之比，以百分数表示。生育率：bi死亡率:：di生存率：si总和生育率：B五、模型建立及求解一、问题1阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。表示为x的函数r（x)。则它应是减函数。于是有)1(Nxrxdtdx（1）0)0(xx对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即)0,0()(srsxrxr（2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为mx时人口不再增长，即增长率0)(mxr，代入（2）式得mxrs，于是（2）式为)1()(mxxrxr（3）将（3）代入方程（1）得：0)0()1(xxxxrxdtdxm（4）解方程（4）得rtmmexxxtx)1(1)(0（5）二、模型的建立为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据上查到我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1。表1各年份全国总人口数（单位：千万）年份195419551956195719581959196019611962总人口60.261.562.864.666.067.266.265.967.3年份196319641965196619671968196919701971总人口69.170.472.574.576.378.580.783.085.2年份197219731974197519761977197819791980总人口87.189.290.992.493.795.096.25997.598.705年份198119821983198419851986198719881989总人口100.1101.654103.008104.357105.851107.5109.3111.026112.704年份199019911992199319941995199619971998总人口114.333115.823117.171118.517119.850121.121122.389123.626124.761年份1999200020012002200320042005总人口125.786126.743127.627128.453129.227129.988130.7561、将1954年看成初始时刻即0t，则1955为1t，以次类推，以2005年为51t作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程（程序见附录1）得到相关的参数，：0336.0,1809870737rxm.所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：0336.0)12.609871.180(171808987073)(etx（上图点为实际统计情况,图线为拟合曲线,由图可得曲线拟合程度良好。）该公式计算得1616599999)2060(x（6）模型Ⅱ：按年龄分布的Leslie模型[2]一、模型的准备将人口按年龄大小等间隔地划分成m个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为2,1,0t.设在时间段t第i年龄组的人口总数为mitni,2,1),(，定义向量Tmtntntntn)](),(),([)(21，模型要研究的是女性的人口分布)(tn随t的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。设第i年龄组的生育率为ib，即ib是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i年龄组的死亡率为id，即id是单位时间第i年龄组女性死亡人数与总人数之比，iids1称为存活率。设ib、is不随时间t变化，根据ib、is和)(tni的定义写出)(tni与)1(tni应满足关系：在（9）式中我们假设ib中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t以后出生而活不到1t的那些婴儿。若记矩阵000000121121mmmsssbbbbL（10）则（9）式可写作)()1(tLntn（11）当L、)0(n已知时，对任意的,2,1t有)0()(nLtnt（12）只要我们求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量)0(n，我们就可以求出t时段的人口分布向量)(tn。二．模型建立以2000年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据国家统计局所给数据，以5岁为间距对女性分组，这样0至99岁就分了20个组。从附录(1)中可以的得到每组的生育率b1、b2、b3......b20，通过每组的死亡率di计算存活率s1、s2、s3......s19.即si=1-di。得到每组女性的生育率与死亡率后，就可以得到Leslie矩阵。在用2000年的数据构建初始矩阵n(2000)见附录1由)2000()2060(12nLn即可算出2060年总人数，以及人口结构分布。得n(2060)=[15825603，19204454，23651667，26693155，27002566，27479799，320509