基于MATLAB仿真单级环形倒立摆课程设计说明书

专业课程设计说明书单级旋转倒立摆的稳定控制系统设计学生姓名：赵晓博学号：1307054153学院：计算机与控制学院专业：电气工程与智能控制指导教师：崔建峰，靳鸿2016年6月1目录引言......................................................................................................................................................2单级旋转倒立摆介绍...............................................................................................................31.建模................................................................................................................................................41.1倒立摆数学模型的建立..................................41.2环形单级倒立摆系统的特性分析........................71.2.1环形单级倒立摆系统的稳定性分析....................71.2.2环形单级倒立摆能控性分析..........................82.对倒立摆系统的控制.........................................................................................................82.1对简单线性系统进行状态反馈控制........................82.2最优线性二次型对旋转倒立摆的控制.....................11总结....................................................................................................................................................17参考文献........................................................................................................................................182单级环形倒立摆引言倒立摆是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。倒立摆是一个复杂的快速、非线性、多变量、强祸合、自然不稳定的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。关于倒立摆最初的研究始于20世纪50年代,麻省理工学院脚IT)的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。进入60年代,人们开始对倒置系统进行研究。1966年,schaeefr和Cannon应用Bang一Bang控制理论,将一个曲轴稳定于倒立位置。60年代以后,作为一个不稳定、严重非线性系统的典型证例人们提出了倒立摆的概念,并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的处理能力,受到世界各国科学家的重视。倒立摆的用途主要有两个方面。其一,作为一个非线性自然不稳定系统,倒立摆系统是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等,都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。其二,由于倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强祸合等特性,其作为控制理论研究中的一个严格的控制对象,通常用于检验控制策略的有效性。研究人员不断从对倒立摆控制方法的研究中发掘出新的控制方法,并将其应用于航天科技和机器人学等各种高新科技领域。倒立摆的控制方法在半导体及精密仪器加工、导弹拦截控制系统、航空器对接技术和机器人技术等领域有着广泛的用途。例如,机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及倒置问题。另外,倒立摆的控制方法对处理一般工业过程也有借鉴作用。近年来,对倒立摆系统控制方法的研究引起了国内外学者的广泛关注。3单级旋转倒立摆介绍单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度1l=0.54m，质量1m=0.127kg，横杆的长度2l=0.325m，质量2m=0.202kg，重力加速度20.98/gms。以在水平方向对横杆施加的力矩M为输入，横杆相对参考系产生的角位移1为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。图1.环形倒立摆实物图单级旋转倒立摆可以在平行于纸面360度的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩为输入，横杆相对参考系产生的角位移为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。41.建模1.1倒立摆数学模型的建立关于倒立摆运动方程的建立和分析，主要有牛顿一欧拉方法和拉格朗日方法。这里采用拉格朗日方程推导环形倒立摆运动学方程的方法得到系统的运动方程。在距摆杆转动轴距离为l处取一小段dl，这一小段dl的坐标为:1211cossinsinllx1211sinsincoslly2coslz对1、2求导，得22121122111121122111sincossinsincossinsinsincoscoscoslzlllylllx则这一小段摆杆dl的动能dT为:连杆的动能1mT为5摆杆的动能2mT为：质量块的动能3mT为：系统的总动能T为：系统的势能为（以连杆水平的位置为0势能位置）：拉格朗日算子L=T-V，系统广义上的坐标为},{21q，由于2上无外力，由拉格朗日方程)2,1(iFqLqLdtdiii等式022LLdtd成立。6由等式022LLdtd可得出取平衡位置时各变量的初值为零(θ1,θ2,θ1,θ2̇̇)=(0,0,0,0)将上式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化处理，令得到线性化之后的公式：系统的传递函数可写成如下的形式：7设定状态变量如下：可得系统线性化状态方程为：带入给出的参数，得到状态方程的参数矩阵：0222.2700100000000010A9028.0010B01000001C1.2环形单级倒立摆系统的特性分析1.2.1环形单级倒立摆系统的稳定性分析在Matlab中的命令行窗口中输入矩阵A，运行函数P=eig(A),得:P=5.21758-5.217500；由上可知，矩阵A中有一个特征值5.2175大于0，所以环形倒立摆系统是开环不稳定系统。1.2.2环形单级倒立摆能控性分析在Matlab中的命令行窗口中输入矩阵A、B、C、D,做如下计算图2.MATLAB计算是否能控2.对倒立摆系统的控制2.1对简单线性系统进行状态反馈控制首先构建一个线性模型如下图所示图3.simulink线性模型仿真图通过MATLAB计算该系统的能控性图4.MATLAB计算结果由于N=4因此系统是能控能观的。用MATLAB看该系统是否稳定如下图9图5.MATLAB系统仿真图因此可以看出原系统是不稳定的，要使系统稳定，需要加入状态反馈，使系统的极点全部位于左半平面，控制系统的各种特性及其品质指标在很大程度上是由其闭环系统的零点和极点的位置决定。极点配置问题就是通过对状态反馈矩阵的选择，使其闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标的要求。极点配置是一个非常复杂的问题，是一个工程实践与理论相结合的问题。我们这里采用一种工程实践中经常用到的简便方法-主导极点法，其基本思路是先根据期望的性能指标和经验公式确定一对主导闭环极点，然后将另外的非主导极点放在复平面上远离主导极点的位置。设倒立摆控制系统期望的性能指标为：阻尼系数ξ=0.6，调节时间ts=2s。亦即控制系统在任意给定的初始条件下，能够以适当的阻尼ξ=0.6（大约10%的超调），在2s钟内将摆杆恢复到垂直平衡位置。根据控制理论的经验公式得到无阻尼自然频率为：ωn=4/（ts•ξ）=4/1.2=3.33P=wn•ξ由上述条件的很容易构建一个二阶系统，其两个极点为：p1=-2.0000+2jp2=-2.0000-2j它们就是需要的主导极点，控制系统的性能主要由这两个主导极点决定。另外两个非主导极点（为简化取两个实数极点）经过反复试验整定，分别取距离两个主导极点1倍和1.5倍的远处，即：p3=-2.0000p4=-3.0000本文设计的状态反馈要求系统期望的特征值为：-10;-8;-2+j;-2-j。手算求解状态反馈阵K有待定系数法和直接法，由于矩阵A阶数较高，本文使用Matlab中10K=place(A,B,P1)，求解K。A=[0,1,0,0;0,0,-0.717,0;0,0,0,1;0,0,15.776,0];B=[0;0.976;0;-1.463];C=[1,0,0,0];P1=[-3;-2;-2+2j;-2-2j];K=place(A,B,P1)K=-3.3453-4.4604-36.2550-9.1274由状态反馈矩阵可得状态反馈模型仿真图如下图所示图6.SIMULINK状态模拟仿真图初始值M=3，θ=0.152的零状态响应，响应曲线如下图所示。图7.状态反馈系统和零状态响应曲线11从上图可以看出在3秒左右，摆杆和竖直方向的夹角θ=0系统达到稳定。2.2最优线性二次型对旋转倒立摆的控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的,性能指标函数是对象状态变量和控制输入变量的二次型函数。对于线形系统,若性能指标为二次性函数,这样实现的控制叫做线性二次型最优控制。二次型最优控制问题就是在线性系统的约束条件下,选择控制输入使得二次型目标函数达到最小。其最终目标是为系统设计线性二次型调节器简称LQR。线性二次型最优控制方法是20世纪60年代发展起来的一种普遍采用的最优控制系统设计方法。在工程实际中应用线性二次型最优控制是非常普遍的。这是因为,二次型性能指标有较为明确的物理概念;而且采用二次型性能指标在数学处理上比较简单,甚至能得到解析形式表达的线性反馈规律,可以实现状态的线性反馈，线性二次型控制理论是反馈系统设计的一种重要工具,它为多变量反馈系统的设计提供了一种有效的分析方法,可以适应于时变系统,能够处理扰动信号和测量噪声问题,并可以处理有限和无限的时间区间。状态调节器是指采用状态反馈,使状态向量的各分量迅速趋近于零,而不消耗很多能量的系统。考虑系统被控对象的状态空间方程为ẋ=AX(t)+BU(t)y=x(t)其中,x为n维状态向量,u为r维控制向量,且不受约束,A为n*n维常数矩阵,B为n*r维常数矩阵。寻找一个状态反馈控制律u'()t=一Kx()t,即确定最优控制矩阵K,使得系统下面的性能指标为最小。J=12xfT+12∫[xTQ(t)x+uTR(t)u]dttft0式中Q为n*n对称半正定矩阵,R为r*r对称正定矩阵;F为n