频率特性

制基制基控制工程基础控制工程基础((第四章）第四章）董景新董景新20082008年春季学期年春季学期008008年春季学期年春季学期时域瞬态响应法：分析控制系统的时域瞬态响应法：分析控制系统的直接方法。()oxt()ixt()gt()()i()优点：直观。优点：直观。缺点：分析高阶系统非常繁琐。频率响应是时间响应的特例，是频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性是系统对不同频率正弦频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性。频率特性分析法(频域法)是利用系统的频率特性来分析系统性能的方系统的频率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工程上广为采快速性和准确性等，是工程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。频率特性分析法是一种图解的分析方频率特性分析法是一种图解的分析方法。不必直接求解系统输出的时域表达式，不必直接求解系统输出的时域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能，不需要求解分析闭环系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。系统的频域指标和时域指标之间存在着对应关系。频率特性分析中大量使用着对应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十分方便、直观。制系统的分析十分方便、直观。第四章控制系统的频率特性4.1机电系统频率特性的概念及其基本实4.1机电系统频率特性的概念及其基本实验方法42极坐标图（Nit图）4.2极坐标图（Nyquist图）4.3对数坐标图（Bode图）对数标图图4.4由频率特性曲线求系统传递函数4由单位脉冲响应求系统的频率特性4.5由单位脉冲响应求系统的频率特性*4.6对数幅相图（Nichols图）4.6对数幅相图（Nichols图）4.7控制系统的闭环频响机械系度的概念4.8机械系统动刚度的概念4.1频率特性概述物理意义物理意义频域法是工程上广为采用的系统分析和综合的间接方法。除了电路与频率特性有着密切关的间接方法。除了电路与频率特性有着密切关系外，在机械工程中机械振动与频率特性也有系外，在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系。数学依据数学依据傅立叶变换傅立叶变换频率特性的物理背景Steady-stateresponseofacircuitnetworktosinusoidalinputRC电路网络正弦输入的稳态响应稳态响应R)sin()(ittuω=已知求稳态时C()tu()tu求稳态时?)(o=tuC()tui()tuo1(),1GsTRCT==i22(),Usω=()1Ts+i22(),sω+1()()()UUGωoi22()()()1UsUsGssTsω==⋅++)]([)(o1osULtu−=[]()()i()tTTttωφ−++[]o22()()sin()1TuteatTωωφωω=+++稳态时[]olim()()sin()tutatωωφω→∞=+稳态时，1其中)j(ωG=21()()1aTωω=+其中，)j(ωG∠=()1()arctan()TTωφωω+=−11(j)()GGsω===jj(j)()1j1ssGGsTsTωωωω==++R)sin()(ttuω=输入C()tui()tuo)sin()(ittuω=[])(i)()(φ稳态输出[])(sin)()(oωφωω+=tatu稳态输出其中，)j()(G其中，)j()()j()(ωωφωωGGa∠==j1(j)()GGsω==)j()(ωωφG∠=jj(j)()1ssGGsTsωωω==+Steady-stateresponseoflinearsystemstosinusoidalinput频率特性的定义设系统传递函数为设系统传递函数为。定义。定义系统输出系统输出)(sG设系统传递函数为设系统传递函数为。定义。定义系统输出系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的信号的稳态响应相对其正弦输入信号的幅幅)(sG值之比值之比为系统的为系统的幅频特性幅频特性。。幅频特性描述系统在稳态下响应不同频幅频特性描述系统在稳态下响应不同频)j()(ωωGA=幅频特性描述系统在稳态下响应不同频幅频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在幅值上的率的正弦输入时在幅值上的增益特性（衰增益特性（衰率的正弦输入时在幅值上的率的正弦输入时在幅值上的增益特性（衰增益特性（衰减或放大）减或放大）。。定义系统输出信号的稳态响应相对定义系统输出信号的稳态响应相对定义系统输出信号的稳态响应相对定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的相移其正弦输入信号的相移)j()(ωωφG∠=为系统的为系统的相频特性相频特性。。相频特性描述系统在稳态下响应不相频特性描述系统在稳态下响应不相频特性描述系统在稳态下响应不相频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时同频率的正弦输入时在相位上产生的在相位上产生的同频率的正弦输入时同频率的正弦输入时在相位上产生的在相位上产生的滞后（滞后（）或超前）或超前（（））特性特性。。0φ0φ上述定义的幅频特性上述定义的幅频特性)j()(ωωGA=上述定义的幅频特性上述定义的幅频特性和相频特性和相频特性统称为系统的统称为系统的频率频率)j()(ωωGA=)j()(ωωφG∠=和相频特性和相频特性统称为系统的统称为系统的频率频率特性特性，它描述了，它描述了系统对正弦输入的稳态响应。系统对正弦输入的稳态响应。)j()(φ当输入为非正弦的当输入为非正弦的周期信号周期信号时，其输入可利时，其输入可利当输入为非正弦的当输入为非正弦的周期信号周期信号时，其输入可利时，其输入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为相应的正弦波输出的叠加，如下图所示。相应的正弦波输出的叠加，如下图所示。当输入为当输入为非周期信号非周期信号时，可将该非周期信号看时，可将该非周期信号看做周期做周期TT→∞→∞的周期信号。的周期信号。+∞傅里叶正变换式傅里叶正变换式∫+∞∞−−==dtetxXtxFtωωj)()()]([傅里叶反变换式傅里叶反变换式()()∫+∞−==ωωωωdeXtxXFtj121)]([()()∫∞−π2)(傅氏变换与拉氏变换傅氏正变换式傅氏正变换式∫+∞∞−−=dtetxXtωωj)()(∫+∞−)()(dtetxsXst拉氏正变换式拉氏正变换式∫=0)()(dtetxsX傅氏变换与拉氏变换是类似的。傅氏变换与拉氏变换是类似的。傅氏变换与拉氏变换是类似的。傅氏变换与拉氏变换是类似的。除了积分下限不同外，只要将除了积分下限不同外，只要将s换成换成，就可将已知的拉氏变换式，就可将已知的拉氏变换式变成相应的傅氏变换式。变成相应的傅氏变换式。jω变成相应的傅氏变换式。变成相应的傅氏变换式。拉氏变换可看作是一种单边的广义的傅氏变拉氏变换可看作是一种单边的广义的傅氏变拉氏变换可看作是一种单边的广义的傅氏变拉氏变换可看作是一种单边的广义的傅氏变换，其积分区间是从换，其积分区间是从00到到+∞+∞。。函数适合进行拉氏变换的条件比傅氏变换的函数适合进行拉氏变换的条件比傅氏变换的条件弱一些，因此适合函数的范围也宽一些。条件弱一些，因此适合函数的范围也宽一些。条件弱一些，因此适合函数的范围也宽一些。条件弱一些，因此适合函数的范围也宽一些。大多数机电系统可简单地将拉氏变换大多数机电系统可简单地将拉氏变换中中j()Gs的的换成换成而直接得到相应的傅氏变换而直接得到相应的傅氏变换式。式。jωs系统频率特性的表示形式系统的频率特性函数是一种复变函数，可以表系统的频率特性函数是一种复变函数，可以表系统的频率特性函数是一种复变函数，可以表系统的频率特性函数是一种复变函数，可以表示成如下形式：示成如下形式：()()()ωωωVUGjj+=()()()ωωωVUGjj+=是的实部，称为实频特性。()Uω()jGω是的实部，称为实频特性。是的虚部，称为虚频特性。()Uω()Vω()jGω()jGω是的虚部，称为虚频特性。()()j频率特性函数也可以表示成如下形式：频率特性函数也可以表示成如下形式：频率特性函数也可以表示成如下形式：频率特性函数也可以表示成如下形式：()()()jjGAeφωωω=()()jjGGωω=∠()()()()()()22jjAGUVωωωω==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()jj()()()()()()()jjGUVVGωωωωωφ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤∠⎢⎥()()()()jarctanGUφωωω=∠=⎢⎥⎣⎦是的模，称为幅频特性。是的相角，称为相频特性。()Aω()φ()jG()jGω是的相角，称为相频特性。()φω()jGω矢量图表示如下矢量图表示如下：：()()ωωω)(j)(jVUG+=()()()[]()()ωφωωφωφωjsinjcoseAA=+=频率特性的求取——解析法系统的频率特性函数系统的频率特性函数可由系可由系)j(ωG系统的频率特性函数系统的频率特性函数可由系可由系统的传递函数统的传递函数求得。求得。)(sG)()j(GG)j(将将ss平面的复变量平面的复变量的取值的取值ωωj)()j(==ssGGωσj+=s将将ss平面的复变量平面的复变量的取值的取值范围限定在虚轴上，即范围限定在虚轴上，即所得到的所得到的ωσj+=sωj=s范围限定在虚轴上，即范围限定在虚轴上，即所得到的所得到的传递函数传递函数就是系统的频率响应。就是系统的频率响应。)j(ωG频率响应是在频率响应是在特定情况下的传递特定情况下的传递函数。函数。ωj=s函数。函数。如下图所示系统，其传递函数为如下图所示系统，其传递函数为例1R如下图所示系统，其传递函数为如下图所示系统，其传递函数为()111CsGsRCs==+C()tui()tuo()11RCsRCs++()tui()o将将代之以代之以，，即得到系统的频率特性即得到系统的频率特性函数为函数为jωs1)()j(==sGGω数数1j)()j(j+===RCsGGsωωω()()()1211KGjjTjTjωωωω=++例试求试求的幅频特性和相频特性。的幅频特性和相频特性。()()1211jTjTjωωω++()11111GjKjTjTjω=⋅⋅⋅例。。解：解：()()12arctan()arctan()2111jjTjTKeeeπωω⎛⎞−⎜⎟−−⎝⎠=⋅⋅⋅()1211jjTjTjωωω++()()221211KeeeTTωωω=⋅⋅⋅++⎛⎞()()12arctan()arctan()2221211jTTKeTTπωωωωω⎛⎞−−−⎜⎟⎝⎠=+⋅+()()1211TTωωω++()KAω=()()()221211ATTωωωω=+⋅+4.1节小结1.1.频率特性的概念：频率特性的概念：系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应特性称为频率特性性称为频率特性。22求取频率特性的解析方法：求取频率特性的解析方法：2.2.求取频率特性的解析方法：求取频率特性的解析方法：ωωj)()j(==ssGGωj=s4.2Polarplots（乃奎斯特图或乃氏图）（乃奎斯特图，或乃氏图）乃奎斯特（H.Nyquist)乃斯特（H.Nyquist)1889~1976，美国Bell实验室著名科学家著名科学家极坐标图极坐标图是反映频率特性的几何表示是反映频率特性的几何表示极坐标图极坐标图是反映频率特性的几何表示。是反映频率特性的几何表示。当当从从0逐渐增长至逐渐增长至时，频率特时，频率特ω+∞当当从从逐渐增长逐渐增长时频率特时频率特性性作为一个矢量，其端点在复平作为一个矢量，其端点在复平()Gjω面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。图。极坐标图极坐标图也称为也称为乃氏图或乃奎斯特曲线乃氏图或乃奎斯特曲线。。4.2.1Nyquistplotsoftilttypicalcomponents1.1.比例环节比例环节Vj()KG=ωj1.1.比例环节比例环节()j()j=ωKG()()o0jj=∠=ωωGKG()0j∠ωG2.