数学物理方法习题解答(完整版)

1数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Rez在z平面上处处不可导。证明：令Rezuiv。Rezx，,0uxv。1ux，0vy，uvxy。于是u与v在z平面上处处不满足C－R条件，所以Rez在z平面上处处不可导。2、试证2fzz仅在原点有导数。证明：令fzuiv。22222,0fzzxyuxyv。2,2uuxyxy。vvxy。所以除原点以外，,uv不满足C－R条件。而,,uuvvxyxy在原点连续，且满足C－R条件，所以fz在原点可微。000000xxyyuvvufiixxyy。或：2*00000limlimlim0zzxyzfzxiyz。22***0*000limlimlim()0zzzzzzzzzzzzzzzzz。【当0,izzre，*2izez与趋向有关，则上式中**1zzzz】23、设333322()z0()z=00xyixyfzxy，证明zf在原点满足C－R条件，但不可微。证明：令,,fzuxyivxy，则332222220,=00xyxyuxyxyxy，332222220(,)=00xyxyvxyxyxy。3300(,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxuxuxuxx，3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxuyuyuyy；3300(,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxvxvxvxx，3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxvyvyvyy。(0,0)(0,0),(0,0)(0,0)xyyxuvuv()fz在原点上满足C－R条件。但33332200()(0)()limlim()()zzfzfxyixyzxyxiy。令y沿ykx趋于0，则3333334343222220()1(1)1(1)lim()()(1)(1)(1)zxyixykikkkkikkkxyxiykikk依赖于k，()fz在原点不可导。4、若复变函数zf在区域D上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D上3必为常数。（1）zf在区域D上为实函数；（2）*zf在区域D上解析；（3）Rezf在区域D上是常数。证明：（1）令()(,)(,)fzuxyivxy。由于zf在区域D上为实函数，所以在区域D上(,)0vxy。()fz在区域D上解析。由C－R条件得0uvxy，0uvyx。在区域D上(,)uxy为常数。从而zf在区域D上为常数。（2）令()(,)(,)fzuxyivxy，则*()(,)(,)fzuxyivxy。()fz在区域D上解析。由C－R条件得,uvuvxyyx。（1）又*()fz在区域D上解析，由C－R条件得,uvuvxyyx。（2）联立（1）和（2），得0uuvvxyxy。,uv在区域D上均为常数，从而()fz在区域D上为常数。（3）令,,fzuxyivxy，则Re(),fzuxy。由题设知,uxy在区域D上为常数，0uuxy。4又由C－R条件得，在区域D上0,0vuvuxyyx，于是v在区域D上为常数。,uv在区域D上均为常数，从而在区域D上()fz为常数。5、证明2xy不能成为z的一个解析函数的实部。证明：令2uxy，2222022uuxxxy。u不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z的一个解析函数的实部。6、若zxiy，试证：（1）sinsincoshcossinhzxyixy；（2）coscoscoshsinsinhzxyixy；（3）222sinsinsinhzxy＝；（4）222coscossinhzxy。证明：（1）sinsin()sincos()cossin()zxiyxiyxiycos()cos,sin()sinhiyhyiyiy，sinsincoshcossinhzxyixy。（2）coscos()coscos()sinsin()zxiyxiyxiycos()cos,sin()sinhiyhyiyiy，coscoscoshsinsinhzxyixy。（3）222sin(sincosh)(cossinh)zxyxy2222sincoshcossinhxyxy2222sin(1sinh)cossinhxyxy222222sin(sincos)sinhsinsinhxxxyxy。5（4）2222222cos(coscosh)(sinsinh)coscoshsinsinhzxyxyxyxy2222cos(1sinh)sinsinhxyxy22222coscossinhsinsinhxxyxy222222cos(cossin)sinhcossinhxxxyxy。7、试证若函数fz和z在0z解析。0000,0fzzz，则000limzzzfzfzz。（复变函数的洛必达法则）证明：00000000000000000()()()()lim()()()()limlimlim()()()()()()()()limzzzzzzzzzzfzfzfzfzfzzzzzfzfzfzzzzzzzzzzzzz。或倒过来做。8、求证：0sinlim1zzz。证明：000sin(sin)limlimlimcos1zzzzzzzz。第二章习题解答9、利用积分估值，证明a．22iixiydz积分路径是从i到i的右半圆周。b．证明222iidzz积分路径是直线段。证明：a．（方法一）222244iiiiiixiydzxiydzxydz42242222()iiiixxyydzxydz。6（方法二）在半圆周221xy上，221,1xy，从而42424422xxyyxyxy在半圆周221xy上，2244221xiyxyxy，44max1cxy，222222iiiiiiiixiydzxiydzxydzdz。或：2244maxiicxiydzxy。b．证:222111maxmaxmax11zxizxizxz2221max22iizxidzzz。10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c均为圆心在原点，半径为1的单位圆周。a．coscdzz；b．256zcedzzz。证明：a．1cosz的奇点为1,0,1,2nznn，由于1nz，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。1cosz在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。由柯西定理:0coscdzz。b．256(2)(3)zzeezzzz的奇点为12z，23z，它们均不在以原点为圆心的单位圆内。256zezz在以原点为圆心的单位圆内处处解析。由柯西定理:2056zcedzzz。711、计算a．221:21czzdzczz；b．2221:21czzdzczz。解:a．221zz在2z所围区域内解析，且1z在2z所围区域内。由柯西积分公式得221212(21)2241zczzdzizziiz。b．221zz在2z所围区域内解析，且1z在2z所围区域内。由推广的柯西积分公式得22211212212412361zczzzdzizziziiz。12、求积分zcedzz（:1cz），从而证明cos0cossined。解:ze在1z所围区域内解析，且0z在1z所围区域内。由柯西积分公式得022zzzcedzieiz。（1）在c上令ize，，则cossinizeicedziediedzcoscossinsinsinieidcoscoscossinsinsiniededcos02cossinied，其中利用了，由于cossinsine是的奇函数，而coscossine是的偶函数，所以cossinsin0ed，coscos0cossin2cossineded。8cos02cossinzcedziedz。（2）从而，联立（1）和（2），得cos0cossined。13、由积分2cdzz之值，证明012cos054cosd，c为单位圆周1z。证明：12z在单位圆周1z所围区域内解析。由柯西定理:02cdzz。（1）另一方面，在c上ize，，2222222iiiiccdzzedziedzzzee1212cos2sin54cos124iiieiididee12cossin254cos54cosidd（2）sin54cos为的奇函数，sin054cosd（3）由（1）、（2）及（3）得12cos054cosd。（4）又12cos54cos为的偶函数，012cos12cos254cos54cosdd。（5）于是由（4）和（5）得012cos054cosd。14、设264zFzz，证明积分cFzdza.当c是圆周221xy时，等于0；9b.当c是圆周2221xy时，等于4i；c.当c是圆周2221xy时，等于2i。证明：266422zzFzzzz的奇点为12z及22z。a.当c是圆周221xy时，12z及22z均在圆外，Fz在圆内解析。由柯西定理:6022czdzzz。b.当c是圆周2221xy时，仅12z在圆内。由柯西积分公式得2662224222czzzdziiizzz。c.当c是圆周2221xy时，仅22z在圆内。由柯西积分公式得2662212222czzzdziiizzz。第三章习题解答15、求下列级数的收敛半径，并对c讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。a.11nnnzn；b.1nnnnz；c.0knnnz（0k为常数）。解:a.