高等代数(北大版)第6章习题参考答案

1/19第六章线性空间1.设,NM证明：,MNMMNN。证任取,M由,NM得,N所以,NM即证MNM。又因,MNM故MNM。再证第二式，任取M或,N但,NM因此无论哪一种情形，都有,N此即。但,NMN所以MNN。2.证明)()()(LMNMLNM，)()()(LMNMLNM。证),(LNMx则.LNxMx且在后一情形，于是.LMxNMx或所以)()(LMNMx，由此得)()()(LMNMLNM。反之，若)()(LMNMx，则.LMxNMx或在前一情形，,,NxMx因此.LNx故得),(LNMx在后一情形，因而,,LxMxxNL，得),(LNMx故),()()(LNMLMNM于是)()()(LMNMLNM。若xMNLMNL（），则x，x。在前一情形XxMN，XML且，xMN因而（）（ML）。,,NLxMNXMLMNMMNMN在后一情形，x,x因而且，即X（MN）（ML）所以（）（ML）（NL）故（L）=（）（ML）即证。3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112babaabbaakkba1111（a，）（（，）（）k。（a，）=（ka，kb+2/196）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：0ka；7）集合与加法同6），数量乘法定义为：kaa；8）全体正实数r，加法与数量乘法定义为：abab，kkaa；解1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如523nnxx（）（）。2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}因为f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）所以f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有（A+B）=A+B=-A-B=-（A+B），A+B仍是反对称矩阵。KAKAKAKA（）（）（），所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，2a-b）。对于数乘：222222221(11)111)(,),2(1)(1)(1).(.(,).(,)(,[2]())222(1)(1)(1)(1)(,[]())(,())2222(1)(,)().(,),2(ababaabllllkkklabklalbaklaklbalallkkklklkkklaklbalaklaalaklklklaaklbklab。（，）（。，。2222222()(1)).(,)[(),()]2(1)(1).(,).(,)(,)(,22(1)(1)(,)22(1)(1)[(),()].2klklklabklaaklbkkllkablabkakbalalbakkkkkalakbaaklakklklaaklb即),(),(),()(balbakbalk。3/19),()],(),[(2121212211aabbaakbabak＝)])(2)1((),([221212121aakkaabbkaak，),()(221,1bakbak＝)2)1(,()2)1(,(22222111akkkbkaakkkbka＝)2)1(2)1(,(21222221121aakakkkbakkkbkaka＝)2)1(2)1()(),((212122221212121aakaakakkakkaabbkaak＝))(2)1()(),((22221212121aakkaabbkaak，即),(),(2211babak),()(221,1bakbak，所以，所给集合构成线性空间。6）否，因为.01。7）否，因为)()()(,2,)(lklklklk所以，所给集合不满足线性空间的定义。8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足1);)()()()();)111;1111):1,1;)1;)(())()()();)()()();)()llklkklklkliababbabaiiabcabcabcabcabciiiaaaivaaaaaaaavaaaviklakaaaaklaviiklaaaakalaviiikab是零元：的负元是且()()()().kkkkabababkakb所以，所给集合R构成线性空间。4在线性空间中，证明：1）00k2）kkk)(。证1）00))(()1()())((0kkkkkkkk。2）因为()(),()kkkkkkk所以。4/195证明：在实函数空间中，1，tt2cos,cos2式线性相关的。证因为1cos22cos2tt，所以1，tt2cos,cos2式线性相关的。6如果)(),(),(321xfxfxf是线性空间][xP中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。证若有不全为零的数321,,kkk使0)()()(332211xfkxfkxfk，不妨设,01k则)()()(3132121xfkkxfkkxf，这说明)(),(32xfxf的公因式也是)(1xf的因式，即)(),(),(321xfxfxf有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以)(),(),(321xfxfxf线性无关。7在4P中，求向量在基4321,,,下的坐标。设1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321；2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321。解1）设有线性关系4321dcba，则1121dcbadcbadcbadcba，可得在基4321,,,下的坐标为41,41,41,45dcba。2）设有线性关系4321dcba，则103002dbadbdcbacba，可得在基4321,,,下的坐标为0,1,0,1dcba。5/198求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间Pnn；2）Pnn中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012231i。解1)nnP的基是),,...,2,1,}(njiEij且2dim()nnPn。2)i)令...............1............1............ijF，即,1jiijaa其余元素均为零,则nnnnFFFFF,...,,...,,...,222,111是对称矩阵所成线性空间nM的一组基,所以nM是2)1(nn维的。ii)令...............1............1............ijG，即),(,1jiaajiij其余元素均为零,则nnnnGGGGG,1223,112,...,,...,,...,是反对称矩阵所成线性空间nS的一组基,所以它是2)1(nn维的。iii)nnnnEEEEE,...,,...,,...,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是2)1(nn维的。3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a,可经2线性表出，即.2)(log2aa,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。4)因为231i,13,所以23,13,3,12qnqnqnn，于是EAA111,1322，而23,13,3,2qnAqnAqnEAn。9.在4P中,求由基,1，,,,432到基4321,,,的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐6/19标。设1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114321，3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,24321，4321,,,xxxx在4321,,,下的坐标；1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,124321，2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,24321，0,0,0,1在,1,,,432下的坐标；1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,134321，1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,14321，1,0,0,1在4321,,,下的坐标；解1（4321,,,）=（,1,,,432）3101121163316502=（,1432,,）A这里A即为所求由基,1,,,432到4321,,,的过渡矩阵，将上式两边右乘得1，得（,1432,,）=（4321,,,）1，于是（,1432,,）4321xxxx=（4321,,,）14321xxxx，所以在基下的坐标为14321xxxx，7/19这里1=272631912773200312723319427191113194。2令)1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321eeee则（,1432,,）=(43,21,,eeee)1110011112121111=(43,21,,eeee)A，（4