超越方程与导数

第1页共5页利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如3269100xxx，22lnxx2xx+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。一、有关三次方程根的问题：对320AxBxCxD的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根0x，然后转化为200xxaxbxc，再展开，应用待定系数法即可求出,,abc。再对20axbxc求根得解。如32320xx；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。例1、方程3269100xxx的实根的个数是（）A、3B、2C、1D、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。解：令fx=326910xxx则'fx=23129xx'fx=313xx当1x或3x时'fx0fx为增函数当13x时'fx0fx为减函数yfx极大值=1f=60013x故fx的极大值在x轴的下方，如图1，即fx的图象与x轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选C。（图1）例2、已知函数32332fxxbxb在,0上是增函数，在0,2上是减函数，若16fx恰有一解，求实数b的取值范围。分析：此题给出函数的单调区间，求参数b的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出b的范围。又据16fx恰有一解，即函数值16对应惟一x值。可先由单调性画出fx草图，然后数形结合分析求解。第2页共5页解：函数32332fxxbxb在,0上是增函数，在0,2上是减函数由'236fxxbx0得,02,xb，y0b，'236fxxbx0得0,2xb由题意0,20,2b02bx22b即1b①又fx在,0和2,b上递增，在0,2b上递减。如图2（图2）fx在0,2b的值域为2,0fbf即332,2bb据图2可知，若16fx恰有一解，只需3216b得2b结合①21b二、有关超越方程根的问题：这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与x轴的交点，则可化难为易。很快得解。例3、证明方程22lnxx2xx+2有惟一解。分析：这一方程形式比较复杂，观察易知1x是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。证明：移项得：22ln22xxxx=0令22ln22fxxxxx0xy'fx2121xxx222xxxx'fx1222xxxxxxx0222xxxxx001x当10x即1x时，'fx0，fx为增函数（图3）当10x即01x时，'0fx，fx为减函数。第3页共5页fx极小值1f0如图3，此时图象与x轴相切。与x轴只有惟一交点故方程22lnxx2xx+2有惟一解1x。例4、若关于x的方程221ln1xx2xxa在0,2上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围。分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与x轴的交点情况，挖掘出隐含条件即可得解。解：方程可化为21ln10xaxy令21ln1fxxax0,2x则'21111xfxxx由'fx0得12x，'0fx得01x012xfx在1,2上递增，在0,1上递减。（图4）要使关于x的方程221ln1xx2xxa在0,2上恰好有两个相异的实根，只需fx的图象与x轴在0,1和1,2上各有一个交点。如图4所以有：001020fff即10112ln20212ln30aaa解之得：22ln232ln3a通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与x轴的交点情况，挖掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。第4页共5页练习1、（本小题满分14分）已知函数.23)32ln()(2xxxf（I）求f(x)在[0，1]上的极值；（II）若对任意0]3)(ln[|ln|],31,61[xxfxax不等式成立，求实数a的取值范围；（III）若关于x的方程bxxf2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：（I）23)13)(1(33323)(xxxxxxf，令1310)(xxxf或得（舍去）)(,0)(,310xfxfx时当单调递增；当)(,0)(,131xfxfx时单调递减.……………………………………3分]1,0[)(613ln)31(在为函数xff上的极大值……………………………5分（II）由0]3)(ln[|ln|xxfxa得xxaxxa323lnln323lnln或，…………①……………………7分设332ln323lnln)(2xxxxxh，xxxxxg323ln323lnln)(，依题意知]31,61[)()(xxgaxha在或上恒成立，0)32(2)32(33)32(3332)(2xxxxxxxxg，03262)62(31323)(22xxxxxxxh，]31,61[)()(都在与xhxg上单增，要使不等式①成立，当且仅当.51ln31ln),61()31(aagaha或即或………………………9分（III）由.0223)32ln(2)(2bxxxbxxf令xxxxxbxxxx329723323)(,223)32ln()(22则，第5页共5页当]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时xxx上递增；当]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时xxx上递减……………………11分而)1()37(),0()37(，]1,0[0)(2)(在即xbxxf恰有两个不同实根等价于0215ln)1(067267)72ln()37(02ln)0(bbb.37267)72ln(215lnb……………………………………14分2．（本小题满分14分）已知关于x的方程：012223aaxaxx有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．解：00aa时，不符合题意，所以当上有解－在1,10322)(2axaxxf上有解－在1,123)12(2xax上有解－在1,1231212xxa上的值域。－在问题则转化为求函数1,123122xxy1137,137ay即利用导数易求得1273aa或