【优化方案】2012高中数学-第3章3.3.1几何概型课件-新人教A版必修3

3.3几何概型3.3.1几何概型学习目标通过具体问题理解几何概型的概念，并能求其概率.课堂互动讲练知能优化训练3.3.1几何概型课前自主学案课前自主学案温故夯基1．古典概型的两个重要特征：一是一次试验可能出现的结果只有_________；二是每种结果出现的可能性__________2．下列不能用古典概型解决的是(2)(3)．(1)甲、乙等四人参加4×100m接力赛，甲跑第一棒的概率；有限个都相等．(2)运动员命中靶心的概率；(3)某公交车每10分钟一班，在车站停1分钟，乘客到达站台立即上车的概率．知新益能1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称___________2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_______________(2)每个基本事件出现的可能性______几何概型．无限多个．相等．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果构成的区域长度面积或体积.1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)＝0，则A一定是不可能事件；若P(A)＝1，则A一定是必然事件，这种说法正确吗？问题探究提示：这种说法是不正确的．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件．课堂互动讲练一维型的几何概型一维型的几何概型是指区域测度是线段的长度、角度的大小、弧长等．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AMAC的概率．考点突破例1【思路点拨】先计算AM＝AC时∠ACM的度数，再找出相应的区域角，利用几何概型的概率公式求解即可．【解】这是几何概型问题且射线CM在∠ACB内部，在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AMAC}．则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，∴P(A)＝67.590＝34.【思维总结】在解答本题的过程中，易出现用线段来代替角度作为区域度量来计算概率的错误，导致该种错误的原因是忽视了基本事件的形成过程．互动探究1在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长大于AC的长的概率．解：设AC＝BC＝a，则AB＝2a，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AMAC)＝P(AMAC′)＝BC′AB＝AB－ACAB＝2a－2a2a＝2－22.即AM的长大于AC的长的概率为2－22.二维型的几何概型是指区域测度是由两个变量确定的面积．二维型的几何概型例2在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0内随机投点，求点与圆心间的距离小于13的概率．【思路点拨】确定总结果的图形及面积→确定事件A的图形及面积→计算概率【解】圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆的圆心为C(1,1)，半径r＝1.点与圆心间的距离小于13的区域是以C(1,1)为圆心，以13为半径的圆内部分．故点与圆心距离小于13的概率为P＝π132π·12＝19.【思维总结】找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．变式训练2向边长为2的正六边形内任意投掷一点，则该点到正六边形的所有顶点的距离均不小于1的概率是________．解析：如图，根据题意可知，只要点落在图中的空白区域即可，所求的概率是图中空白区域的面积和正六边形的面积之比，故所求的概率为1－2π332×22＝1－3π9.答案：1－3π9三维型的几何概型三维型的几何概型是指区域测度是空间几何体的体积．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．例3【思路点拨】要使这个飞到正方体六个面的距离均大于1，这个点必须在以正方体的中心为中心，棱长为13的正方体内．【解】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝1333＝127.【思维总结】本题相当于把正方体分割为27块棱长为1的小正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．互动探究3本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于13的概率．解：到A点的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为43π×(13)3×18.∴P＝43π×133×1833＝π2×37.方法感悟方法技巧1．在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．(如例1)2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．(如例1)3．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.(如例3)失误防范1．适当选择观察角度，注意区分几何量是长度还是角度或是面积、体积．(如例1)2．几何概型，事件A发生在总区域内也是均匀的，即是等可能的．