高等代数欧几里得空间知识点总结

第九章欧几里得空间（***）一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。二、考点精讲：三、首师大真题：（一）欧氏空间1.设V是是数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)，特具有一下性质：（1）(,)(,)；（2）(,)(,)kk（3）(,)(,)(,)；（4）(,)0，当且仅当=0时(,)=0.这里,,是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。2.非负实数(,)称为向量的长度，记为。3.非零向量,的夹角,规定为(,),arccos,0,4.如果向量,的内积为零，即(,)0，那么,称为正交或互相垂直，记为。5.设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基1,2,......,n令(,),(,1,2,....)ijijaijn矩阵()ijnnAa称为基1,2,......,n的度量矩阵。（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。6.欧氏空间V中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.以3个线性无关向量1,2,3为例.①令1=1,2=2-11112),(),(,3=3-11113),(),(-22223),(),(.此时1,2,3是和1,2,3等价的正交非零向量组.（二）同构1.实数域R上欧氏空间V与'v称为同构，如果由V到'v有一个1-1上的映射，适合（1）()()()（2）()()kk（3）((),())(,)这里,,VkR，这样的映射称为V到'v的同构映射。2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。（三）正交矩阵1.基本概念（1）n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果'AAE。（2）欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的,V都有(,)(,)AA2.主要结论设A是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价：（1）A是正交变换；（2）A保持向量的长度不变，即对于V，A；（3）如果1,2,......,n是标准正交基，那么1,2,......,nAAA也是标准正交基；（4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。（四）正交子空间1.基本概念（1）设12,VV是欧氏空间V中两个子空间。如果对于任意的12,VV恒有(,)=0，则称12,VV为正交的，记12VV。一个向量，如果对于任意的1V，恒有(,)=0，则称与子空间1V正交，记为1V。（2）子空间2V称为子空间的一个正交补，如果12VV，并且12VV=V。2.主要结论（1）如果子空间1,.....,sVV两两正交，那么和1.....sVV是直和。（2）欧氏空间V的每一个子空间1V都有唯一的正交补1V。（3）1V恰由所有与1V正交的向量组成。（五）对称矩阵的性质1.实对称矩阵的性质（1）实对称矩阵的特征值皆为实数。（2）设A是n级实对称矩阵，则nR中属于A的不同特征值的特征向量必正交。（3）对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使'1TATTAT成对角矩阵。2.对称矩阵（1）设A是欧氏空间V中的一个线性变换，如果对于任意的,V，有(,)(,)AA则称A为对称变换。（2）对称变换的性质①对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。②设A是对称变换，1V是A-子空间，则1V也是A-子空间。③设A是n维欧氏空间V中的对称变换，则V中存在一组由A得特征向量构成的标准正交基。（3）实对称矩阵的对角化A是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.A的特征值和特征向量有以下特点:(1)特征值都是实数.(2)对每个特征值,其重数=n-r(E-A).(3)属于不同特征值的特征向量互相正交.于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化.设A是实对称矩阵,构造正交矩阵Q(使得Q-1AQ是对角矩阵)的步骤:(1)求出A的特征值;(2)对每个特征,求(E-A)X=0的单位正交基础解系,合在一起得到A的n个单位正交的特征向量;(3)用它们为列向量构造正交矩阵Q.（六）向量到子空间的距离，最小二乘法1.长度称为向量和的距离，记为(,)d，且（1）(,)d=(,)d（2）(,)0d，当且仅当时等号成立；（3）(,)(,)(,)ddd（三角不等式）2.实系数线性方程组11122111222222112211000nnnnnnnnnnaaxaxbaxaxbaxaxbxaxax可能无解，即任何一组实数12,,......sxxx都可能使211221(......)niiissiiaxaxaxb不等于零，寻找实数组00012,,.....,sxxx使上式最小，这样的00012,,.....,sxxx称为方程组的最小二乘解。3.线性方程组AX=b的最小二乘解即为满足方程组''AAXAb的解0X