5.2-质点的角动量定理与角动量定理定律

第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律15.2质点的角动量定理与角动量守恒定律第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律2角动量概念的建立，和转动有密切的关系。在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着某一个确定点或轴转动的情况。例如：行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。在这些问题中，动量及机械能的有关规律并不适用，这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。角动量与动量一样，是一个重要概念。力的时间累积效应冲量、动量、动量定理。力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律30总p由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零。系统有机械运动，总动量却为零？不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？CM引入与动量对应的角量pL——角动量（动量矩）第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律4教学基本要求一理解质点对固定点的角动量、力矩的概念。二理解角动量守恒定律及适应条件，并能用该定律分析计算有关的问题。难点：角动量概念，角动量定理及角动量守恒定律的应用。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律55.2质点的角动量定理与角动量守恒定律第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律6事实表明：要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速度，光有力的作用是不够的，必须有力矩的作用。比如：门绕轴的转动。力矩（MomentofForce），反映力的大小、方向、作用点对物体转动的影响。改变物体的转动状态物体获得角加速度•力•质点获得加速度改变质点的运动状态第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律7pO大小：方向：右手螺旋定则判定。力臂:力矩是力与力臂的乘积。FrMFrM定义：为作用在质点上的力对参考点O的力矩。F是作用点P相对于固定点O的位矢。rFrFsinrFrMsinrr单位：N•m（不能写成功的单位J）一、力矩rθrFM1、对参考点O的力矩第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律81）同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，因此讲到力矩时必须指明是相对于哪一点而言的。2）当力F的作用线通过所选的参考点时，力F对该点的力矩为零。3）在直角坐标系中，力矩可表示为行列式：zyxFFFzyxkjiFrMkMjMiMzyx注意：FrM力矩：第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律9zyxFFFzyxkjiFrMxzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF其中：kMjMiMzyx如：力对O点的力矩在通过O点的任一轴线（如z轴）上的分量，叫做力对z轴的力矩，用表示。MzM力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律10v二、质点的角动量（动量矩）(AngularMomentum)vmrprLvrLLrxyzom质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点O的位矢为，质点相对于原点的角动量为：mrvsinvrmL大小：υmOrLθm方向：服从右手定则。组成的平面，和垂直于pr第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律112）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是相对哪一参照点而言；3）作圆周运动质点的角动量。1）角动量是描述转动状态的物理量；说明：ωmrθυrmL2sin质点以角速度作半径为的圆周运动，相对圆心的角动量大小为：ωr质点作匀速圆周运动时，角动量守恒。LrpmovmrprL第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律124）在直角坐标系中，角动量的表达式为：()zyxLxpyp()yxzLzpxp()xzyLypzpzyxpppzyxkjiprLkLjLiLzyx当质点在xoy面内作一般平面运动时，角动量为：00yxppyxkjiprLkpyxpxy)(为对z轴的角动量。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律13例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。5）角动量的概念，不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量。原子、分子和原子核系统的基本性质之一是，它们的角动量仅具有一定的不连续的量值，这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。对轴的角动量：当质点作平面运动时，对运动平面内某参考点O的动量矩，也称为质点对过O点垂直于运动平面的轴的角动量。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律14例：一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C分别为三个参考点，此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3，求：此时刻质点对三个参考点的动量矩。md1d2d3ABCv解：vmdL1AvmdL1B0CLvmrprL第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律15)(26122SIkjtitFFrMvmrprL练习:有一个质量为m=1kg的物体,在力的作用下运动。当t=0时，求:t=1s时,??LM,0,000vrzyxpppzyxkjiprLzyxFFFzyxkjiFrM第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律16?,dtLdFdtpdpdtrddtpdrprdtddtLd)(dtLdM作用在质点上的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率。FrdtpdrdtLd0,pυυdtrdprL三、质点的角动量定理(质点角动量定理的微分形式)第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律17冲量矩：tMttd21质点的角动量定理：质点所受合力矩的冲量矩等于质点角动量的增量。12d21LLtMtttLMdd注意：定理中的力矩和角动量都必须是相对于同一参考点而言的。说明:1）冲量矩是质点角动量变化的原因。2）质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。在实际过程中，要研究的是力矩对时间的积累效应。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律18四、质点的角动量守恒定律说明：1）质点的角动量守恒的条件是合力矩为零。例如：质点作匀速直线运动。一种是合力为零；另一种是力F不为零时，力矩为零。有两种情况：当时，恒矢量。LM,00θsin例如：质点作匀速圆周运动。一是力的作用点就在参考点O，此时位置矢量r=0；另一种是力的延长线通过参考点O，此时：FrMsin第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律19例：行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒。如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定中心称为力心。有心力相对于力心的力矩恒为零。在有心力作用下质点对力心的角动量守恒。2）有心力问题3）角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动也适用。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律20例：证明：一个不受外力作用的运动质点，对任一固定点的角动量保持不变。证明：质点作匀速直线运动设质点的质量为m，运动速度为vvmvmvm0r'r相对于0点vmrLvmr=常矢量大小：方向：mvrLr第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律21解：摆球受力如图。mgTgmRMRmgMTRMθRTM090sinθRTcosRmg逆时针方向。顺时针方向。重力矩：张力矩：例：质量为Ｍ的圆锥摆摆球，以速率v运动时，判断：1）对Ｏ参考点的角动量是否守恒？2）对Ｃ参考点的角动量是否守恒？lmoRυc1）以O为参考点。对Ｏ点的合力矩为零，角动量守恒。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律22gmlMθlmgMsin0TlMπ:夹角mgTlmoRυc重力矩：张力矩：2）以C为参考点。对C点的合力矩不为零，角动量不守恒。例：质量为Ｍ的圆锥摆摆球，以速率v运动时，判断：1）对Ｏ参考点的角动量是否守恒？2）对Ｃ参考点的角动量是否守恒？第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律23例：用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为r0，角速度为ω0。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求：当半径缩为r时的角速度。解：mr0rov以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零，小球对O点的角动量守恒。初态：末态：20000mvrmr2mvrmr角动量守恒：2200mrmr所以：或：2002rr00rvvr第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律24计算一下这个力的的功，可用动能定理0[()]2200112rmvr2201122mvmv由此例可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。星系的形状可能与此有关。星系（银河系）的早期可能是具有动量矩的大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系这样的星系呈扁平状。KEA第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律25应用角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律26动画演示表明，行星在一段时间内从A点运动到B点，位矢扫过的面积是ds1；在另一段相同的时间间隔内从C点运动到D点，这时位矢扫过的面积是ds2。开普勒观测的结果是ds1=ds2。16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，总结出行星运动的规律、即开普勒三定律。只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天机”。由于角动量正比于位矢的掠面速度，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律27行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于引力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢反平行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为零。角动量的方向不变，表明位矢和速度所决定的平面的方位不变，行星就在这个平面内运动，它的轨道是二维的。所以，行星在运行过程中，对太阳的角动量保持不变。证明：设在t时刻，经dt时间运动到点，A行星位于A点，AALrθυ第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律28在此时间间隔内，扫过的面积为：212dSrd因此面积的变化率：212dSdrdtdt212r212mrm2Lm有心力作用，角动量L守恒，故面积变化率恒定。行星转过角位移，dAALrθυd第5章刚体的定轴转动5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律29例:一颗地球卫星，近地点181km，速率8.0km/s，远地点327km，求:在远地点处的卫星速率。解：角动量守恒近地点11vr远