2012高考数学名校全攻略专题复习课件：第1部分 专题1 第4讲 导数及其应用(文)

近两年高考对函数的考查更多的是与导数相结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质，应用函数的单调性证明不等式，体现出高考的热点.导数与函数的内容在高考试卷中所占的比例较大，每年都有题目考查，且考查时有一定的综合性，并与思想方法紧密结合，对函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法又进行了深入的考查.1．(2010·全圈卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：求导得y′＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程是x－y＋1＝0，所以切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线l上，于是有0＋a＝10－b＋1＝0，解得a＝1b＝1.答案：A2．(2010·江西高考)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.答案：B3．(2010·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13，b＝0，因此f(x)的解析式为f(x)＝－13x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－13x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x＜－2或x＞2时，g′(x)＜0，从而g(x)在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2＜x＜2时，g′(x)＞0，从而g(x)在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2时取得，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43.因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.1．导数的几何意义曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率为k＝(其中f′(x0)为y＝f(x)在x0处的导数)．f′(x0)2．求导数的方法(1)基本导数公式：c′＝(c为常数)；(xm)′＝(m∈Q)．(2)导数的四则运算：(u±v)′＝.0mxm－1u′±v′3．函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．4．函数的单调性与极值的关系一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝0.(1)若在x＝a附近的左侧导数，右侧导数，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值．(2)若在x＝a附近的左侧导数，右侧导数，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．小于0大于0大于0小于0求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．[例1]设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4B．－14C．2D．－12[思路点拨]由y＝g(x)在(1，g(1))处的切线方程知k＝2＝g′(1)，题目便可求解．[自主解答]f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4.[答案]A求可导函数的单调区间的一般步骤：(1)确定定义域区间；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)0，得函数的递增区间；解不等式f′(x)0，得函数的递减区间．注意：当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目将它们取并集．[例2]已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋cx＋d(a＞0)，x＝0是f(x)的一个极值点，f(x)的极大值为9，极小值为5.(1)求f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)的单调区间．[思路点拨]由x＝0是一个极值点知f′(0)＝0，再利用极值求得a、c、d.[自主解答](1)∵f′(x)＝3ax2＋6x＋c，x＝0是f(x)的一个极值点，∴f′(0)＝0，即3a·02＋6×0＋c＝0，c＝0，f′(x)＝3ax2＋6x＋c＝3ax2＋6x＝0⇔x＝0或x＝－2a.若f(0)＝9，f(－2a)＝5，则d＝9，4a2＋9＝5，故a不存在；若f(0)＝5，f(－2a)＝9，则d＝5，a＝1.∴f(x)＝x3＋3x2＋5.(2)g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋3x2＋5－(3x2＋6x)＝x3－6x＋5，∴g′(x)＝3x2－6，令g′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)和(2，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(－∞，－2)、(2，＋∞)上单调递增；当x∈(－2，2)时，g′(x)＜0，g(x)在(－2，2)上单调递减．综上，g(x)在(－∞，－2)、(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减.1.利用导数研究函数的极值的一般步骤：(1)确定定义域．(2)求导数f′(x)．(3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左右函数值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论)②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[例3]函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1.(1)若y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值；[思路点拨]由已知建立方程组，可求得a，b，c的值，再求导求其最值．[自主解答](1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导数得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)．而过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1.故3＋2a＋b＝3，－a＋c－2＝1，即2a＋b＝0，①c－a＝3.②∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0.∴－4a＋b＝－12.③由①②③联立解得a＝2，b＝－4，c＝5，∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，解得x＝23或x＝－2.列下表：x－3(－3，－2)－2(－2，23)23(23，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f(23)＝9527.又∵f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.题目条件不变，若函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．解：y＝f(x)在[－2,1]上单调递增．又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0.∴f′(x)＝3x2－bx＋b.依题意在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立．当x＝b6≥1时，[f′(x)]min＝f′(1)＝3－b＋b≥0，∴b≥6；当x＝b6≤－2，即b≤－12时，[f′(x)]min＝f′(－2)＝12＋2b＋b≥0，∴b不存在；当－2＜b6＜1时，即－12＜b＜6时，[f′(x)]min＝12b－b212≥0∴0≤b＜6，综上所述b≥0.在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．[例4]某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该集团将当年的广告费控制在300万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大．(结果保留整数)[思路点拨](1)广告费产生的收益等于销售额去掉广告费，(2)两种销售额去掉总投入，列出函数关系式，再求最值．[自主解答](1)设投入广告费t(百万元)后由此增加收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．∴当t＝2时，f(t)max＝4.即当集团投入200万元广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(0≤x≤3)(百万元)，则用于广告的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)．对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．当0≤x2时，g′(x)0，即g(x)在[0,2)上单调递增；当2x≤3时，g′(x)0，即g(x)在(2,3]上单调递减．∴当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝253.故在300万元资金中，200万元用于技术改造，100万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益约为833万元．本题学生在求解时易出现以下几个问题：(1)把销售额误以为利润，(2)忽略函数的定义域，(3)求解后，结论不书写．分类讨论思想[例5]已知函数f(x)＝13x3＋x2－2.(1)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1＝3，若点(an，a2n＋1－2an＋1)(n∈N*)在函数y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，Sn)也在y＝f′(x)的图象上；(2)求函数f(x)在区间(a－1，a)内的极值．[解](1)因为f(x)＝13x3＋x2－2，所以f′(x)＝x2＋2x，（2分）由点(an，a2n＋1－2an＋1)(n∈N*)在函数y＝f′(x)的图象上，得a2n＋1－2an＋1＝a2n＋2an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，又an＞0(n∈N*)，所以an＋1－an＝2,又因为a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，公差为2的等差数列．（4分）所以Sn＝3n＋nn