2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.2 导数与函数的极值、最值课件

第二章函数、导数及其应用第十一节导数的应用第二课时导数与函数的极值、最值热点命题深度剖析思想方法感悟提升R热点命题深度剖析利用导数研究函数的极值是高考考查热点，几乎每年都会考查，有时会和函数的单调性、不等式、导数的几何意义等相结合命题，有时作为高考的压轴题出现，难度中、高档。角度一：根据图像判断函数极值的情况1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)考点一利用导数研究函数的极值问题解析①当x－2时，1－x0。∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数。②当－2x1时，1－x0。∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即f(x)在(－2,1)上是减函数。③当1x2时，1－x0。∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即f(x)在(1,2)上是减函数。④当x2时，1－x0。∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数。综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值。故选D。答案D角度二：求函数的极值2．设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴。(1)求a的值；解因为f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，故f′(x)＝ax－12x2＋32由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－12＋32＝0，解得a＝－1。(2)求函数f(x)的极值。解由(1)知f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2－2x－12x2＝3x＋1x－12x2。令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13(因为x2＝－13不在定义域内，舍去)。当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表知f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3。x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值3单调递增3．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝axx＋r2(a0，r0)。(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；解(1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)。f(x)＝axx＋r2＝axx2＋2rx＋r2，f′(x)＝ax2＋2rx＋r2－ax2x＋2rx2＋2rx＋r22＝ar－xx＋rx＋r4，所以当x－r或xr时，f′(x)0。当－rxr时，f′(x)0。因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)，(2)若ar＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值。解由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减。因此，x＝r是f(x)的极大值点，无极小值。所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝ar2r2＝a4r＝4004＝100。角度三：已知极值求参数4．(2016·广州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________。解析由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则a2＋3a－b－1＝0，b－6a＋3＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7。－75．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.0，12C．(0,1)D．(0，＋∞)解析f′(x)＝lnx－ax＋x1x－a＝lnx－2ax＋1，函数f(x)有两个极值点，即lnx－2ax＋1＝0有两个不同的根(在正实数集上)，即函数g(x)＝lnx＋1x与函数y＝2a在(0，＋∞)上有两个不同交点。因为g′(x)＝－lnxx2，所以g(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以g(x)max＝g(1)＝1，如图。当g(x)与y＝2a有两个不同交点，须02a1。即0a12，故选B。答案B【规律方法】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况。先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号。(2)已知函数求极值。求f′(x)―→求方程f′(x)＝0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的附近两侧的符号―→下结论。(3)已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。考点二利用导数解决函数的最值问题【例1】设函数f(x)＝x3－x22－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)a，则实数a的取值范围是________。【解析】f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－23，又f(1)＝72，f－23＝15727，f(－1)＝112，f(2)＝7，故f(x)min＝72，∴a72。－∞，72【规律方法】求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值、一个为最小值。(2)若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值、最小的一个是最小值。(3)先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得。(4)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点。变式训练1已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。解h′(x)＝3x2＋6x－9，令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，所以当x变化时，h′(x)，h(x)在区间(－∞，2]上的变化情况如下表所示：由表可知，当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，因此，k的取值范围是(－∞，－3]。x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋＋h(x)28－43考点三函数极值和最值的综合问题【例2】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0。(1)求f(x)的单调区间；【解】f′(x)＝2ax＋bex－ax2＋bx＋cexex2＝－ax2＋2a－bx＋b－cex，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同。又因为a0，所以－3x0时，g(x)0，即f′(x)0；当x－3或x0时，g(x)0，即f′(x)0。所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)。(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值。【解】由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有9a－3b＋ce－3＝－e3，g0＝b－c＝0，g－3＝－9a－32a－b＋b－c＝0，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝x2＋5x＋5ex。因为f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者。而f(－5)＝5e－5＝5e55＝f(0)。所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5。【规律方法】求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的。求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值。变式训练2(2015·吉林长春质量监测(四))已知函数f(x)＝1＋lnxx。(1)若函数f(x)在区间a，a＋12上存在极值，求正实数a的取值范围；解函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－1－lnxx2＝－lnxx2。令f′(x)＝0，得x＝1。当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减。所以，x＝1为极大值点，所以a1a＋12，故12a1，即实数a的取值范围为12，1。(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx＋1恒成立，求实数k的取值范围。解当x≥1时，k≤x＋11＋lnxx，令g(x)＝x＋11＋lnxx，则g′(x)＝1＋lnx＋1＋1xx－x＋11＋lnxx2＝x－lnxx2。再令h(x)＝x－lnx，则h′(x)＝1－1x≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2。S思想方法感悟提升⊙1个流程——解决函数极值问题的一般流程⊙2个关系——导数与单调性、极值的关系(1)f′(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件。(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件。⊙3个注意点——利用导数求极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论。