三角恒等变换---最全的总结·-学生版

1三角恒等变换---完整版三角函数------三角恒等变换公式：考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值（4）角的整体代换（5）弦切互化（6）知一求二（7）辅助角公式逆向应用两角和与差的三角函数关系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin22tan1tan22tan半角公式2cos12sin，2cos12coscos1cos12tan=cos1sinsincos1升幂公式1+cos=2cos221-cos=2sin221±sin=(2cos2sin)21=sin2+cos2sin=2cos2sin2降幂公式sin222cos1cos222cos1sin2+cos2=1sin·cos=2sin21平方关系sin2+cos2=1，商数关系cossin=tan2（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子1、（二倍角公式）（2007重庆文）下列各式中，值为32的是（）A．2sin15cos15B．22cos15sin15C．22sin151D．22sin15cos152、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考)(sin75sin15)(cos15cos75)的值是A.1B.12C.22D.323、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考)84cos54sin6cos36sin等于A．－12B．12C．－32D．324.（两角和差公式）下列各式中值为的是（）.A．sin45°cos15°+cos45°sin15°B．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°C．cos75°cos30°+sin75°sin30°D．5、（拆角+两角和差公式）（佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式5cos5sin355cos2（）A．23B．1C．2D．36、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（）A．14B．18C．116D．132常见变式：计算sin10°sin30°sin50°sin70°的＝__.7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sinα－sinβ＝32，cosα－cosβ＝12，则cos(α－β)的值为()A.12B.32C.34D．18．（诱导公式）【2015广东东莞高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于BA．－B.C．－D.9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考四川，理12】75sin15sin..10、（逆向套用公式）tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°的值是________．311．（特殊值化特殊角处理）化简1＋tan105°1－tan105°的值为________12.（特殊值化特殊角处理）1－tan75°1＋tan75°＝_______13、(tan45°＝tan(20°＋25°)+多项式展开)若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为_______14、（合理组合，多项式乘法展开）(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为_______15、（逆向套用公式）tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝____.答案：BDBCBCAB9、6210、311、－3312、－3313、214、315、1（2）角的整体变换题：主要方法是拿题目给出的整体角加一加，或者减一减，观察是否互补、互余、或者是两角和差、倍角关系等，从而运用诱导公式、和差公式化简求值。例如：22，1[()()]2，()424(),)(2221、（角的整体相减）(2011汕头期末)已知)4tan(,41)4tan(,52)tan(则等于（）A．1823B．223C．2213D．1832、（两角互补）.【山西大学附中2014-2015年高三月考】若31)6sin(，则)3cos(的值为（）A．12B．12C．13D．133.（诱导公式）【湛江一中14年期末考试】如果31)sin(，那么)23cos(的值为（）.31.A31-.B322.C322-.D4.（两角相减）【江西省九江外国语学校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题】已知1sin(75)2，则cos(15)()A.32B.32C.12D.1245、（两角相加）.【2013-2014学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷】若3)tan(，5)tan(，则2tan=（）A．74B.74C.21[来源:学*科*网Z*X*X*K]D.216.（特殊角三角函数值）【浙江省桐乡一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理14】已知1sin3，cos()1，则sin(2)..7、（两角整体相减）【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中，理2】若π1sin+123（），则7πcos+12（）_____．8、（互余两角正余弦互换）【四川雅安中学2014－2015学年上期9月试题，理11】若)6cos(,41)3sin(则_______.9、（互补两角余弦互为相反数）33)6cos(，则)65cos(___________10.（两角整体相减）若54)6sin(x，则)3cos(x．11、（两角整体相减）【2015重庆高一期末】若,135)6sin(且),2(，则)32sin(；12.（两角整体相减）【2015江苏高考，8】已知tan2，1tan7，则tan的值为______13、（两角整体相减）（中山市2014届高三上学期期末考试）已知20,)6cos(53,则cos14、（两角相减）【2015湖南浏阳高一期末】已知113cos,cos(),07142且，则β=。答案：BDACB6、137、138、9、-10、11、131212、313、4331014、35（3）弦切互化：1）、分子分母同时除以cos2）注意分母还原sin2+cos2=1，然后分子分母同时除以cos2，即可化为正切3）注意期间学会使用解方程的思想4）遇到部分Asinα+Bcosα之类求正切的，注意先两边平方后再进行相切互化1.（诱导公式+同时除以cos）(2007韶关一模文)已知2tan，)sin()2sin()cos()2sin((A)2(B)－2(C)0(D)322、（同角三角函数弦化切）(2013肇庆统考)已知α为锐角，sinα＝35，则tan(α－π4)等于A、17B、7C、－17D、－73、（简单弦化切）（2011福建文3）若tan=3，则2sin2cosa的值等于A．2B．3C．4D．64.（分子分母同时除以cos）(2012高考江西文4)若sincos1sincos2，则tan2α=A.-34B.34C.-43D.435、（分母还原1+同时除以cos2）（2009辽宁卷文）已知tan2，则22sinsincos2cos（A）43（B）54（C）34（D）456.（分母还原1+同时除以cos2）【淄博实验中学2015届高三，理5】已知tan2，则2sinsincos的值是（）A．25B．25C．2D．27.（移项后两边平方在弦切互化）(唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试7).已知2sin21cos2，则tan2（）A．43B．43C．43或0D．43或068、（两边平方在弦切互化）【成都七中2015届数学阶段性测试，理8】已知10,2sincos2aR，则tan(2)4（）A．43B．7C．34D．179、（解方程组+同角三角函数的快速弦切互化）【2015安徽滁州高一期末】已知)tan(,cos)sin(),2(,53sin则且=（）A．1B．2C．－2D．25810、（两边平方在弦切互化）（洛阳市2014届高三12月统考）已知2sinα＋cosα＝102，则tan2α＝AA．34B．43C．－34D．－4311、（两边平方在弦切互化）（省实验中学2014届高三上学期期中考试）已知sincos2,0,，则tan等于（）A．22B．22C．1D．112、（解方程组再弦切互化）【2015福建晋江高一期末】若11sin,sin23，则tantan为A、5B、-1C、6D、1613、（分母还原1+同时除以cos2）已知tan2，则22sinsincos2cos3的值为14、（二倍角+分母还原1+同时除以cos2）若4cos5，是第三象限的角,则1tan21tan2=_________．答案：BCDBDADBCACA13、14、-27（4）：结合完全平方公式和平方差公式的作用。最经典的莫过于sincos，sincos，sin2三者知一求二：;2sin1)cos(sin2在不同的范围三角函数值大小的比较（如下图），往往用于更加精确象限，常见于“知一求二”的符号问题。本类题型要三个常见处理思想，1）是两边平方。2）是是根据上图进行逻辑判断。3）对于两大公式sincos2sin()4=和2sin()(sincos)42的顺向和逆向快速转换，要形成解题敏感点。1.（两边平方）【2012高考辽宁文6】已知sincos2，(0，π)，则sin2=(A)1(B)22(C)22(D)12.（两边平方+象限定号）（2012全国卷）已知α为第二象限角，33cossin，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)533、（公式的快速展开+两边平方）（开滦二中2014届高三12月月考，文）已知3sin()45x，则sin2x的值为（）A．－725B．725C．1425D．16254、（公式的快速展开）（2013年高考课标Ⅱ卷（文6））已知2sin23，则2cos()4（A）16（B）13（C）12（D）235.（公式的快速展开+两边平方）（2011辽宁文7）设sin1+=43（），则sin2（A）79（B）19（C）19（D）79yxyxsincos0sincossincossincos086、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(2013六校联考)已知)4sin(cos22sin,2,21)4tan(2则且等于（）A．552B．1053C．522D．101037、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）（2007海南宁夏理）若