三角恒等变换专题复习课件

三角恒等变换二轮专题复习课实验中学高三数学教研室王丽学习目标：1、通过专题训练，进一步熟练掌握同角三角函数基本关系式，和、差、倍、半角公式及辅助角公式；2、能熟练利用上述公式（包括正用、逆用、变形使用等）进行三角函数式的求值、化简，以及解三角形或者研究三角函数的图象与性质.1、两角和与差的三角函数公式：)cos(sinsincoscos)sin(sincoscossin)tan(.tantan1tantan)sin(sincoscossin)cos(sinsincoscos)tan(.tantan1tantan基本公式：2、二倍角公式:2tan1tan22tancossin22sin212sin变形变形（降幂公式）21cos2sin22)cos(sin2sin1变形3、半角公式：2cos2cos12sin2cos12tancos1cos1sincos121cossinsin222sincossincos222221cossinsin222sincossincos2222cos1sin=注：在半角公式中，根号前的正负号，由角所在的象限确定.2=xbxacossin22ba22ba.cossin2222确定，由其中baabab4、辅助角公式：说明：利用辅助角公式可以将形如的函数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。=sin+cosyaxbx这个公式有什么作用？)cossin(2222xbabxbaa)cossinsin(cosxx.)sin(x22ba考题体验：1．（2013·高考课标卷）已知2sin23，则2cos()4（）A.16B.13C.12D.232.(2012·山东理)若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.343．（2013·四川理）设sin2sin,(,)2,则tan2的值是_________.4.（2013·江苏理）已知a(cos,sin)b(cos,sin)＝，，0，设c(0,1)，若abc，求,的值。1、A2、D3、4、3656典型例题：例1：已知,(0,)且11tan(),tan27，求2的值.tan()tan1tan=tan()11tan()tan3(0,)41173,44tan(2)tan134：因为且所以（0，）因为（0，）且tan故（，），所以2又所以2-=-分析考向一：求角问题变式1：（1）已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210，求β的值．1422343025500227210102coscos23=24因为tan=,所以tan=因为，，所以sin=,cos因为，所以，又cos()=,于是sin()=所以由，知，分析：变式1：,=3,sin=2sin(2+)（2）求的值.已知，为锐角，且tan(+)sin2sin(2),sincoscossin2sincoscossinsincos=s3cossintan()3tantan()3,tan10=in2si24n分析：所因为即所以即因为所以又，，故以典型例题：例2、(2013全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝__________.分析：f(x)＝sinx－2cosx＝125sincos55xx，令cos＝15，sin＝25，则f(x)＝5sin(＋x)，当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，sin(＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，即θ＝2kπ＋π2－(k∈Z)，所以cosθ＝πcos2π+2k＝πcos2＝sin＝22555.考向二：求值问题变式2：(2013全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若π1tan42，则sinθ＋cosθ＝__________.分析：由π1tan1tan41tan2，得tanθ＝13，即sinθ＝13cosθ.将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得210cos19.因为θ为第二象限角，所以cosθ＝31010，sinθ＝1010，sinθ＋cosθ＝105.典型例题：例3、（2013重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝325，2cos()cos()2cos5AB，求tan的值．分析：(1)因为a2＋b2＋2ab＝c2，由余弦定理有cosC＝22222222abcababab，故3π4C.(2)由题意得2(sinsincoscos)(sinsincoscos)cosAABB＝25.因此(tansinA－cosA)(tansinB－cosB)＝25，22tansinsintan(sincoscossin)coscos5ABABABAB考向三：综合应用典型例题22tansinsintansin()coscos5ABABAB①因为3π4C，A＋B＝π4，所以sin(A＋B)＝22，因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即325－sinAsinB＝22，解得sinAsinB＝32225210.由①得2tan5tan40解得tan1tan4或.变式3：（2013·辽宁理）设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx(1)若ba，求x的值；(2)设函数baxf)(，求)(xf的最大值.分析：(1)由|a|2＝23sinx＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈π0,2，从而sinx＝12，所以π6x.(2)f(x)＝ab＝3sinx·cosx＋sin2x311sin2cos2222xxπ1sin262x，当ππ0,32x时，πsin26x取最大值1.所以f(x)的最大值为32.三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是：⑴找差异：角、名、形的差异；⑵建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；⑶变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后，正用或逆用公式.（4）常用技巧：①切化弦；②常值1的代换；③项的分拆；④角的配凑；⑤“升幂”与“降幂”⑥辅助角；等方法总结基本思想与方法：（3）再就是观察代数式的结构特点，合理的选择三角函数公式，化繁为简.一角二名三结构，即用转化与化归思想“去异求同”，具体分析如下：（1）首先观察角与角之间的关系，用已知角表示未知角，角的变换是三角恒等变换的核心；（2）其次是看三角函数名称之间的关系，通常是常值代换或者切化弦；课堂检测：1．若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝()A.15B.14C.13D.122．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，则sinα＋cosα＝()A．－15B.15C．－75D.753．若sinπ4＋α＝13，则cosπ2－2α等于()A.429B．－429C.79D．－79课堂检测：4．已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝.5．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．6.已知A、B、C是△ABC三内角，向量(1,3),m(cos,sin),nAA1mn(1)求角A..tan,3sincos2sin1222CBBB求若）（172538-150311DBD