浅析一阶微分方程的解法讲解

乐山师范学院毕业论文（设计）1浅析一阶微分方程的解法龙利乐山师范学院数学与应用数学09330214[摘要]：本论文对一阶常微分方程的解法作了浅析，并举出例子分析了变量分离方程、可化为变量分离方程、一阶齐次和非齐次线性微分方程、伯努利微分方程、恰当微分方程、一阶隐式方程及一阶微分方程的变换解法。[关键词]：一阶微分方程；初等解法1．变量分离方程)()(ygxfdxdy(1.1)上式中的)(xf，)(yg是关于x，y的连续函数，(1.1)叫做变量分离方程．如果0)(yg，(1.1)则变形为dxxfygdy)()(，对于两边积分可以得到Cdxxfygdy)()(，(1.2)(1.2)则为(1.1)的解．假如0)(yg，如果存在0y使的0)(0yg，那么0yy还是(1.1)的解．注：当0yy不包含于(1.2)的时侯一定要补上解0yy．例1求解方程0)1()1(22dyxydxyx．解当1,1xy的时候，用)1)(1(22yx除以方程的两端，则原方程化为1122xxdxyydy，可以看出上式是一个变量分离方程，对两边同时积分可以得到该方程的通解为cxyln1ln1ln22即乐山师范学院毕业论文（设计）2ccyx,)1)(1(22为任意的常数此外，当1y的时候，不能用12y来除，但是1y是方程的两个特解，不过在通解公式中允许常数0c，1y两个特解就包含在通解之中了。另外，若不规定x是自变量，y是未知函数，则1x也是方程的两个特解，它们也包含在通解之中。2.可化为变量分离方程2.1)(xyf型的齐次微分方程)(xyfdxdy)1.1.2(这里的)(zf是z的连续函数．对于任意的连续函数f，方程)1.1.2(都可通过变换xyz，)2.1.2(即zxy，将其化为可分离变量方程，把)1.2(对x微分，有dxdzxzdxdy，)3.1.2(把)2.1.2(，)3.1.2(代入)1.1.2(可以得到)(zfzdxdzx，也就是说xzzfdxdz)(，)4.1.2(方程)4.1.2(是可分离变量方程，当0)(zzf时，进行分离变量，积分后得cxzzfdzlnln)(或zzfdzcex)(再将xy替换上式的z，即得方程)1.1.2(的通解。例2求解方程dyxyxxyyxdxxyyxyxy)cossin()sincos(。乐山师范学院毕业论文（设计）3解将方程变形为xyxyxyxyxyxyxydxdycossinsincos令xyu可得uxy，对两边微分得''xuuy将上式代入原方程化简得2cosxcxyxy即cxyxycos2.2)(xyf型的微分方程)(xyfdxdy)1.2.2(对)1.2.2(作变量变换xyu，求微分方程得ydxxdydu，代入方程将y替换即得原方程得通解例3求解方程0)()(xdyxygydxxyf解对上式作变量变换xyu求微分得ydxxdydu代入方程将y替换得0)()]()([duugdxxuuguf变形积分得原方程得通解为cugufuduugx)]()([)(ln2.3)(22yxf型的微分方程)(22yxfdxdy乐山师范学院毕业论文（设计）4对上式做变量变换22yxu则两边微分得''22uyyx代入原方程化简即得原方程得通解。例4求解方程xxyxeyyxyx2222'22解：对上式做变量变换22yxu则两边微分得''22uyyx代入原方程化简得'22uxxuexxu再令xuv而xvu，两边微分得''xvvu将上式代入化简得其通解为cxexyxln22总结：当方程中出现),(),(),(),(22xyfyxfyxfxyf)(cbyaxf等形式的项的时候，通常要做相应的变量替换,,,,22xyyxyxxyu...3．线性微分方程3.1一阶非齐次线性微分方程)()(xgyxfdxdy)1.1.3(我们称为一阶非齐次线性微分方程，而)(xf，)(xg均要求为考虑区间上关于x的连续函数．乐山师范学院毕业论文（设计）5我们已经知道当0)(xg的时候其通解为dxxfcey)()2.1.3(现在将)2.1.3(中的常数c变易为x的待定函数)(xc令dxxfexcy)()()3.1.3(对上式两边微分得dxxfdxxfexfxcedxxdcdxdy)()()()()()4.1.3(将)3.1.3(，)4.1.3(代入)2.1.3(化简得到dxxfexgdxxdc)()()(积分后得到cdxexgxcdxxf)()()(因此，)1.1.3(的通解为))(()()(cdxexgeydxxfdxxf这种解法，我们称之为常数变易法。例5求解方程xexnyyxxnsin)1()1(1'解首先将该方程化为标准方程xexyxnyxnsin)1(1'对应的齐次线性微分方程为yxny1'该对应的齐次微分方程的通解为nxcy)1(现令nxxcy)1)((代入方程化简得xexcxsin)('乐山师范学院毕业论文（设计）6两边积分得cxxexcx)cos(sin21)(故原方程得通解为nxxcxxey)1]()cos(sin21[3.2伯努利方程nyxgyxfdxdy)()()1.2.3(像)1.2.3(这样的方程我们称之为伯努利微分方程当0y时，我们用ny乘)1.2.3(两边，得到)()(1xgxfydxdyynn)2.2.3(现令nyu1)3.2.3(从而有dxdyyndxdun)1()4.2.3(将)3.2.3(，)4.2.3(代入)1.2.3(中得到)()1()()1(xgnuxfndxdu)5.2.3()5.2.3(式就是我们上面讲解的一阶线性非齐次方程，因此，可按上面的方法求得它的通解。此外，当0n的时候，方程还有解0y例6求解方程yxyxy4'解将该方程变形为xyxyy4'1现令zy于是方程变形为乐山师范学院毕业论文（设计）7xzxdxdz212这是线性微分方程，利用常数变易法，求得其对应的齐次微分方程的解为2cxz令2)(xxcz,代入方程并整理得xxxc21)(2'对上式两边积分得cxxcln21)(故原方程的通解为2)ln21(xcxy3.3黎卡提方程形如)()()(2xhyxgyxfdxdy)1.3.3(的方程我们称之为黎卡提方程，其中，)(),(),(xhxgxf均要求为考虑区间上关于x的连续函数．显然，方程)1.3.3(也是一个非线性方程，尽管当0)(xh时，便是贝努力方程，但是它地求解问题却困难的多，我们知道方程)1.3.3(的解不能用初等函数求积表出，但是如果已知它的一个特解，那么它的通解可以由两次求积得到。设)(1xy是方程)1.3.3(的一个特解，于是做变换zyy1代入)1.3.3(，再利用恒等形)()()(2111xhyxgyxfdxdy我们就得到方程0)(])(2)([21zxgzyxgxfdxdz这是贝努力方程，只要再做变换1zu，上式即可化为线性方程乐山师范学院毕业论文（设计）80)(])(2)([1xguyxgxfdxdu我们知道，线性方程的通解就是利用常数变易法得到的公式，这个公式是用两次求积分得到的，所以对黎卡提方程，只要能求出它的一个特解，那么它的通解就可以由两次求积分得到。例7求解方程222xydxdy解由直接验证可知xy1是这个黎卡提方程的特解，于是做变换xzy1，方程就化为贝努力方程，xzzdxdz22再令zu1，便化为线性方程：12uxdxdu利用常数变易法得到的公式得321xxcu即3121xxcz从而该方程的通解为312331xcxxy3.4恰当微分方程如果方程0),(),(dyyxgdxyxf)1.4.3(的左端恰好是函数),(yxu的全微分，即),(),(),(yxdudyyxgdxyxf则我们称)1.4.3(为恰当微分方程。我们知道对于简单的微分方程我们用观察法就可以求解，但是对于比较复杂的方程，有如何判断该方程是不是一个恰当微分方程呢？乐山师范学院毕业论文（设计）9事实上，若方程)1.4.3(是全微分方程，则存在函数),(yxu，使得dyyxgdxyxfdu),(),(于是gyufxu,)2.4.3(将第一式对y求楄导，第二式对x求楄导，得到xgyxuyfxyu22,根据数学分析中得知当函数),(),,(yxgyxf是区间上的连续函数时，我们有yxuxyu22所以有xgyf)3.4.3(即当方程满足上式后该方程即为恰当微分方程。我们知道当方程满足)3.4.3(时，则可设立一个函数),(yxu，使它满足)2.4.3(，由)2.4.3(的第一式可得xxycdxyxfyxu0)(),(),()4.4.3(现在来适当的选取)(yc，使得函数),(yxu满足)2.4.3(的第二式，因此应有),()(),(0'yxgycdxyxfyxx即),()('0yxgycdxyfxx利用条件)3.4.3(，上式可写为),()('0yxgycdxygxx乐山师范学院毕业论文（设计）10从而有),()('yxgyc故xxcdyyxgyc01),()(其中1c是任意常数，代入)4.4.3(得100),(),(),(cdyyxgdxyxfyxuxxxx从而，原方程的通解为100),(),(),(cdyyxgdxyxfyxuxxxx例8求解方程03222222dyyyxdxxxy．解因为xgxyyf4所以原方程是恰当微分方程，由222xxyxu对x积分，得)(22222ycxxyxu其中)(yc是待定函数，让32)(222'2yyxycyxyu求得1333)(cyyyc故132223322cyyxxyxu于是原方程得通解为乐山师范学院毕业论文（设计）11232221821263cyyxyxx注对于一些不是很复杂的恰当微分方程，一般通过“分项组合”变形观察就可以了。例9求解方程01sincos11cossin1222dyyyxyxxyxdxxyxyyxy．解原方程可以变形为01cos1sin222ydydxdyxdxxyxydyyxdxyyx，即0cossin2ydydxxydxyyxdyx，即01sincosyddxxydyxd，所以，原方程的通解为Cyxyxxy1cossin，如果方程)1.4.3(不是恰当方程，即条件)3.4.3(不成立，那么怎样将方程)1.4.3(化成恰当方程呢？为此，我们需要找一个函数)0)(,(yxu，当方程)1.4.3(两边乘以)0)(,(yxu后，便得到一个恰当方程：0),(),(),(),(dyyxgyxudxyxfyxu即只要满足xugyuf)()()5.4.3(这个时候我们称),(yxu叫做方程)1.4.3(的积分因子。展开条件)5.4.3(就是)(yfxguxugyuf)6.4.3(积分因子一般是不容易求得的，那么现在我们考虑简单的积分因子，例如，考虑仅与乐山师范学院毕业论文（设计）12x有关的积分因子)(xu，那么此时0yu，)(xuxu由)6.4.3(式可得gxgyfx)(该式与y无关，于是dxxexu)(