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韦达定理:对于一元二次方程20(0)axbxca,如果方程有两个实数根12,xx,则1212,bcxxxxaa说明:(1)定理成立的条件0(2)注意公式重12bxxa的负号与b的符号的区别根系关系的几大用处①验根:不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根;例如:已知方程x2-5x+6=0,下列是它两根的是()A.3,-2B.-2,3C.-2,-3D.3,2②求代数式的值:在不解方程的情况下,可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值,如;③求作新方程:已知方程的两个根,可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.④求根及未知数系数:已知方程的一个根,可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.(后三种为主)(1)计算代数式的值例若12,xx是方程2220070xx的两个根,试求下列各式的值:(1)2212xx;(2)1211xx;(3)12(5)(5)xx;(4)12||xx.解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007xxxx(1)2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx(2)121212112220072007xxxxxx(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx(4)22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:222121212()2xxxxxx,12121211xxxxxx,22121212()()4xxxxxx,2121212||()4xxxxxx,2212121212()xxxxxxxx,33312121212()3()xxxxxxxx等等.韦达定理体现了整体思想.(2)构造新方程理论:以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组x+y=5xy=6解:显然,x,y是方程z2-5z+6=0①的两根由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程组的解为x1=2,y1=3x2=3,y2=2显然,此法比代入法要简单得多。(3)定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。解:设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根,则c=2由题意知△=k2-4×2×2≥0,k≥4或k≤-4∴为所求。【典型例题】例1已知关于x的方程221(1)104xkxk,根据下列条件,分别求出k的值.(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根12,xx满足12||xx.分析:(1)由韦达定理即可求之;(2)有两种可能,一是120xx,二是12xx,所以要分类讨论.解:(1)∵方程两实根的积为5∴222121[(1)]4(1)034,412154kkkkxxk所以,当4k时,方程两实根的积为5.(2)由12||xx得知:①当10x时,12xx,所以方程有两相等实数根,故302k;②当10x时,12120101xxxxkk,由于302k,故1k不合题意,舍去.综上可得,32k时,方程的两实根12,xx满足12||xx.说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足0.例2已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根.(1)是否存在实数k,使12123(2)(2)2xxxx成立?若存在,求出k的值;若不存在,请您说明理由.(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值.解:(1)假设存在实数k,使12123(2)(2)2xxxx成立.∵一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴2400(4)44(1)160kkkkkk,又12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴1212114xxkxxk∴222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx939425kkk,但0k.∴不存在实数k,使12123(2)(2)2xxxx成立.(2)∵222121212211212()44224411xxxxxxkxxxxxxkk∴要使其值是整数,只需1k能被4整除,故11,2,4k,注意到0k,要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2,3,5.说明:(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.(2)本题综合性较强,要学会对41k为整数的分析方法.一元二次方程根与系数的关系练习题A组1.一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.2kB.2,1kk且C.2kD.2,1kk且2.若12,xx是方程22630xx的两个根,则1211xx的值为()A.2B.2C.12D.923.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根,则m等于()A.3B.5C.53或D.53或4.若t是一元二次方程20(0)axbxca的根,则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是()A.MB.MC.MD.大小关系不能确定5.若实数ab,且,ab满足22850,850aabb,则代数式1111baab的值为()A.20B.2C.220或D.220或6.如果方程2()()()0bcxcaxab的两根相等,则,,abc之间的关系是______7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根,则这个直角三角形的斜边长是_______.8.若方程22(1)30xkxk的两根之差为1,则k的值是_____.9.设12,xx是方程20xpxq的两实根,121,1xx是关于x的方程20xqxp的两实根,则p=_____,q=_____.10.已知实数,,abc满足26,9abcab,则a=_____,b=_____,c=_____.11.对于二次三项式21036xx,小明得出如下结论:无论x取什么实数,其值都不可能等于10.您是否同意他的看法?请您说明理由.12.若0n,关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的的正实数根,求mn的值.13.已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm.(1)求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的两根为12,xx,且满足121112xx,求m的值.14.已知关于x的方程221(1)104xkxk的两根是一个矩形两边的长.(1)k取何值时,方程存在两个正实数根?(2)当矩形的对角线长是5时,求k的值.B组1.已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,xx.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请您说明理由.2.已知关于x的方程230xxm的两个实数根的平方和等于11.求证:关于x的方程22(3)640kxkmxmm有实数根.3.若12,xx是关于x的方程22(21)10xkxk的两个实数根,且12,xx都大于1.(1)求实数k的取值范围;(2)若1212xx,求k的值.
本文标题:根与系数关系知识讲解及练习
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