等差数列的性质

等差数列定义—公差—通项—AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】①数列{an}为等差数列d=an+1-an②公差是唯一的，是一个常数。知识回顾an=a1+(n-1)dan-an-1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）或an+1-an=d（d是常数，n∈N*）dmnaamn)(或mnaadmn推广的等差数列通项公式例1等差数列{an}中，如果a5＝11，a8＝5，求数列的通项公式．分析：求等差数列的通项公式只要求a1、d两个量即可．解析：解法一：由题意a5＝a1＋4d＝11，a8＝a1＋7d＝5⇒a1＝19，d＝－2⇒an＝19＋(n－1)×(－2)，故数列的通项公式为an＝21－2n.解法二：a8－a5＝5－11＝3d⇒d＝－2，a5＝a1＋4d⇒a1＝19，故an＝21－2n.点评：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可以称为“知三求一”．有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也可以求出这个等差数列其它未知数的值．qpn则ad),(aqd,设pd)，(adn1)d-(naan111n是均匀排开的一群孤点q的图像上,px)在一次函数ya即（n,是关于n的一次函数，0时，a0，即dpnn的一群孤立的点线上的均匀分布于x轴（或x轴）的直q的图像上，是平行即在常值函数y列，0时，等差数列为常数即d0,p性质一、1、若一个数列的通项公式为n的一次函数an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d.2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数.常数列的等差数列通项公式为常值函数。an=3n+5a1=8，d=313414811217an=12-2na1=10，d=-2134846210y=3x+5y=12-2x诱思探究成立吗？为什么？则若是等差数列已知）（呢？成立吗？）（qpnmnaaaaNqpnmqpnmaaaaaaaaa),,,,(,21*73644251已知等差数列2，4，6，8，10,12，14，16，…qpnmnaaaaNqpnmqpnma),,,(*是等差数列，则等差数列性质二等差数列性质二的推论knmnaaaNknmknma2),,(2*是等差数列，则“若下标和相等，则对应项的和相等”等差数列中：1152143138a+a=a+a=a+a==2a如(奇数项有中项)11621531489a+a=a+a=a+a==a+a如(偶数项没有中项)13162513a+a+a=a+a+a如数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a35434aaa(5)a判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多123121knknnnaaaaaaaan13{a}a2,20a已知数列是等差数列，且它的前五项和为，求2121nnSna例1.例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10例题分析(2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=1532分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或313：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝___.10练习1：如果数列{an}是等差数列，则()BA．a1＋a8a4＋a5C．a1＋a8a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5D．a1a8＝a4a52：在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则)Aa5的值为(A．5C．8B．6D．104、等差数列{an}中，a1+a2+…+a101=0,则有A、a1+a1010B、a2+a1000C、a3+a99=0D、a51=51C5、已知等差数列{an}中，a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求数列{an}的通项公式解：∵a5+a6+a7=15,∴a6=5,a5+a7=10,a5a7=9,∴a5=1或9d=4或-4an=1+4(n-5)=4n-19或an=9-4(n-5)=29-4n跟踪训练6．在等差数列{an}中，a5＋a13＝40，则a8＋a9＋a10的值为()A．72B．60C．48D．36解法：可以应用等差数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，所以有a8＋a10＝a5＋a13＝2a9＝40，故a8＋a9＋a10＝60.故选B.答案：B7.在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.自主解答：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17.解a2·a5＝52，a2＋a5＝17，得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4.∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.8(1)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求3a9－a13的值．解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.(2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.9．如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()CA．14B．21C．28D．3510．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：∵a1＋a17＝a5＋a13，∴a1－a5＋a9－a13＋a17＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，……an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，……是等差数列首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，……是等差数列首项为a2，公差为2d已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……ana7，a14，a21，……是等差数列首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，……是等差数列首项为ak，公差为kd（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，公差为3d。等差数列的性质三1)等差数列{an}的子数列也成等差数列。K1,k2,k3,…,kn成等差数列123nkkkka,a,a,,a成等差数列等差数列的下标成等差数列，则下标所对的项也成等差数列。如147258369aaa;aaa;aaa;、、、、、、成等差数列。即等差数列的间隔相等的连续等长片断和序列任是等差数列1．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30B．27C．24D．21答案：B2.若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．[解]方法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.∴a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.∴a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.方法2：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.3已知数列{an}为等差数列．(1)若a15＝10，a45＝90，求a60；(2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．解：(1)∵在等差数列{an}中，a15，a30，a45，a60成等差数列，∴a30＝a15＋a452＝10＋902＝50，∴a60＝2a45－a30＝2×90－50＝130.(2)a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋2d×33＝50－66×2＝－82.1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan}也为等差数列，公差为____。4、若数列{an}与{bn}分别是公差为d1、d2等差数列，则{an+bn}也为等差数列，{an-bn}也为等差数列，{pan+qbn}也为等差数列。kd2、{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；3、{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列．dcd性质四、几个等差数列的线性组合仍为等差数列nn119898202020201.{a}{b}a34,b66,a85,b15,ab例等差数列和中，求2nnnn12k1n2.{}()1(1){c};(2){};(3){};(4){};(5){}naaaaaaa已知数列是等差数列，则下列是等差数列的是在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,1532375259725931111372223719522241532aaaaa35261742aaaaaaa即：等差数列的性质(五)例题.已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.:,,.12484422adaadadaadadaadaadd解设这三个数为或设数技巧已知三个数成等差数列，且和为已知时常利用对称性设三数为：a-d,a,a+d四个数怎么设？(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d；(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.等差数列