7.1-差分方程模型

第七章差分方程模型差分方程~离散时段上描述变化过程的数学模型•一年期存款年利率为r，存入M，记第k年本息为xkMxkxrxkk01,,2,1,0,)1(n年后本息为Mrxnn)1(•污水处理厂每天将污水浓度降低比例q,记第k天的污水浓度为ck,,2,1,0,)1(1kcqckk离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的0)1(cqcnn)1lg(2lgqn天后污水浓度降低一半1.一阶线性常系数差分方程2.高阶线性常系数差分方程3.线性常系数差分方程组4.非线性差分方程差分方程例1濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化一阶线性常系数差分方程•在较好自然环境下，年平均增长率为1.94%•在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24%•在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82%如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算.生态学家估计如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区，在中等自然环境下鹤的数量将如何变化?模型及其求解记第k年沙丘鹤的数量为xk，自然环境下年平均增长率为r,2,1,0,1,1kraaxxkk05101520406080100120140160r=0.0194r=-0.0324r=-0.0382设每年人工孵化的数量为b，,2,1,0,1kbaxxkk05101520406080100120140r=-0.0324,b=5r=-0.0324,b=0结果分析时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势,2,1,0,0kxaxkka1(r0)时xk→∞,a1(r0)时xk→0自然环境下,1,1raaxxkk在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。,2,1,0,110kaabxaxkkk人工孵化条件下baxxkk1a1(r0)时xk→x=b/(1-a)050100150200100110120130140150160r=-0.0324,b=5x=5/0.0324=154.32一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性一般形式,2,1,0,1kbaxxkk差分方程的平衡点,2,1,0),1/(kabcaxkk差分方程的解c由初始值x0确定若k→∞时xk→x,平衡点x稳定,否则平衡点x不稳定平衡点稳定的充要条件是a1代数方程x=ax+b的根x=b/(1-a)市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系)(kkxfy生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0)(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点gfKKxy0y0x0P0fg)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkkgfKK曲线斜率蛛网模型0321PPPP)(kkxfy)(1kkyhx在P0点附近用直线近似曲线)0()(00xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定P0不稳定0xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方程模型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致)(00xxyykk~商品数量减少1单位,价格上涨幅度)(001yyxxkk~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格1经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直]2/)[(0101yyyxxkkk模型的推广•生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。)(00xxyykk生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变,2,1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件)(1kkyhx211kkkyyhx补充：高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性,2,1,11110kbxaxaxaxaknknnknk01110nnnnaaaa1,2,…n,2,1,2211kxcccxknnkkkc1,…,cn由初始值x1,…,xn确定)/(110nnaaaabx特征方程特征根平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件:所有特征根的模小于148)(22,1012)1(22xxxxkkk方程通解kkkccx2211(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根022平衡点稳定，即k,xkx0的条件:12,12平衡点稳定条件比原来的条件放宽了122,1模型的推广减肥计划——节食与运动背景•多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持•通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析•体重变化由体内能量守恒破坏引起•饮食（吸收热量）引起体重增加•代谢和运动（消耗热量）引起体重减少•体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25~正常；BMI25~超重;BMI30~肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克/(80001•确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100千克不变wcww025.0100800020000wc•第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡1)1()(kwkwk20012000)()1()()1(kwkckwkw第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09,1,0,20012000)1(kkkc吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划]1)([1)1(kwkc10000mC])1()1(1[)()1()(1nmnCkwnkw•第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克代入得以10000,80001,025.0mC50]50)([975.0)(kwnkwnmmnCCkw])([)1(1）不运动情况的两阶段减肥计划)()1()()1(kwkckwkw基本模型mCkwkw)()1()1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n•第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克50]50)([975.0)(kwnkwn第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。)19,,2,1(50975.040)(nnwn19975.0lg)40/25lg(n)028.0()025.0(t24,003.0tt即取运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时))()()1()()1(kwtkckwkw基本模型6.44)6.4490(972.075n14nmmnCCkwnkw])([)1()(3）达到目标体重75千克后维持不变的方案)()()1()()1(kwtkckwkw每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变wtCww)(wtC)()(1500075025.08000千卡C•不运动)(1680075028.08000千卡C•运动(内容同前)