导数在实际生活中的应用题

导数应用题1.如图，在半径为1，圆心角为2(0)2的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q．（1）求圆Q的半径Qr（用表示）；（2）当变化时，求Qr的最大值；（3）如果按照本题的作法，再作下去，猜想第n个圆的半径nr用表示的式子．（不要证明，只要写出其关系式，设圆P是第一个圆）2.如图,有一块半径为R的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心,A,B在圆的直径上，C,D,E在圆周上.（1）设BOC,征地面积记为()f,求()f的表达式;（2）当为何值时,征地面积最大?解：（1）连接OE,可得,OERcos,sinOBRBCR；0,2.……4分OEDCBA∴22sincoscosOBCEfSR梯形.……8分（2）2(2sin1)(sin1)fR.……10分令0f∴01sin（舍）或者21sin∵2,0,……12分∴当(0,)6,0f,(,)62,0f,……14分3时,()f取得最大.……15分答:3时,征地面积最大.……16分3.交管部门遵循公交优先的原则,在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道.据交管部门收集的大量数据分析发现,该车道上行驶着的前、后两辆公共汽车间的安全距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系d=f(v).现已知车速为15km/h时,安全距离为8m;车速为45km/h时,安全距离为38m;出现堵车状况时,两车安全距离为2m.(1)试确定d关于v的函数关系d=f(v);(2)车速v(km/h)为多少时,单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆?解(1)由题设可令所求函数关系f(v)=av2+bv+c.由题意得v=0时,d=2;v=15时,d=8;v=45时,d=38则c＝2，a×152＋15b＋c＝8，a×452＋45b＋c＝38.解得:a=175,b=15,c=2所以d关于v的函数关系为d=175v2+15v+2(v≥0)(2)两车间的距离为d(m),则一辆车占去的道路长为d+10(m).设1小时内通过该车道的公共汽车数量为y辆,则y=1000vv275＋v5＋12由'y=1000(－v275＋12)(v275＋v5＋12)2=0,解得v=30当0v30时,y′0;当v30时,y′0.于是函数y=1000vv275＋v5＋12在区间(0,30)上递增,在区间(30,)上递减,因此v=30时函数取最大值y=1000答:汽车车速定为30km/h时,每小时通过这条专用车道的公共汽车数量最多,能通过1000辆4.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知2,6,4,ABkmBCkmAEBFkm其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则(0,0),(2,4)AF，…………（2分）由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为2(0)yaxa，由242a得，1a，∴AF所在抛物线的方程为2yx，…………（5分）又(0,4),(2,6)EC，∴EC所在直线的方程为4yx，……（7分）设()(02)Pxxx2，，则22,4,4PQxQExPRxx，…………（9分）∴工业园区的面积223211(44)422Sxxxxxxx(02)x，…………（12分）∴234,Sxx令0S得43x或1x（舍去负值），…………（13分）当x变化时，S和S的变化情况如下表：x4(0,)3434(,2)3S+0-S↑极大值10427↓由表格可知，当43x时，S取得最大值10427．…………（15分）答：该高科技工业园区的最大面积10427．…………（16分）5.某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为x亿元,其中用于风景区改造为y亿元.该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费用至少a亿元,至多b亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用ABCDEFPQR的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%.(1)若2a,2.5b,请你分析能否采用函数模型y=31(416)100xx作为生态环境改造投资方案;(2)若a、b取正整数,并用函数模型y=31(416)100xx作为生态环境改造投资方案,请你求出a、b的取值.】解:(1)∵21'(34)0100yx,∴函数y=31(416)100xx是增函数,满足条件①设2116()(4)100ygxxxx,则222116(2)(24)'()(2)10050xxxgxxxx,令'()0gx,得2x.当2x时,'()0gx,()gx在(,2)上是减函数;当2x时,'()0gx,()gx在(2,)上是增函数,又2a,2.5b,即[2,2.5]x,()gx在[2,2.5]上是增函数,∴当2x时,()gx有最小值0.16=16%15%,当2.5x时,()gx有最大值0.1665=16.65%22%,∴能采用函数模型y=31(416)100xx作为生态环境改造投资方案(2)由(1)知2116()(4)100ygxxxx,依题意,当[,]xab,a、*bN时,15%()22%gx恒成立;下面求21615422xx的正整数解.令216()4hxxx,由(1)知*xN,()hx在(,2)上是减函数,在(2,)上是增函数,又由(1)知,在0x时,min()(2)gxg,且(2)g=16%∈[15%,22%],2x合条件,经枚举(1)g,(3)g∈[15%,22%],而(4)g[15%,22%],可得1x或2x或3x,由()gx单调性知1,2ab或1,3ab或2,3ab均合题意6.有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距ｄ（ｍ）正比与车速ｖ（ｋｍ／ｈ）的平方与自身长Ｌ（ｍ）的积，且车距不得小于半个车身长．而当车速为６０（ｋｍ／ｈ）时，车距为１.４４个车身长．在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？【解析】（1）依题意，设2dkvl，其中k是待定系数，因为当60v时，1.44dl所以21.4460lkl，0.0004k，所以20.0004.dvl因为dl，所以20.0004vll，50.v所以最低车速为50/.kmh(2)因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为.ld一小时内通过汽车的数量为21000100010.00040.0004vQlvllvv，因为110.000420.00040.04,vvvv所以25000.Ql所以当10.0004vv即50/vkmh时，单位时段内通过的汽车数量最多.7.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(0)k．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为,ab，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设ACx（km）．（1）试将y表示为x的函数；（2）若1a，且6x时，y取得最小值，试求b的值．解：（1）设点C受A污染源污染程度为2kax，点C受B污染源污染程度为2(18)kbx，其中k为比例系数，且0k．………………………………………………4分从而点C处受污染程度22(18)kakbyxx．…………………………6分（2）因为1a，所以，22(18)kkbyxx，………………8分'3322[](18)bykxx，令'0y，得3181xb，………………12分又此时6x，解得8b，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度b的值为8．………………14分8.因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14aa,且)aR个单位的药剂,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为()yafx,其中161(04)8()15(410)2xxfxxx.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a的最小值(精确到0.1,参考数据:2取1.4).18．解：（Ⅰ）因为4a,所以644(04)8202(410)xyxxx………………………………1分则当04x时,由64448x,解得0x,所以此时04x………………3分当410x时,由2024x,解得8x,所以此时48x………………………5分综合,得08x,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…………6分（Ⅱ）当610x时,1162(5)(1)28(6)yxax………………………9分=161014axax=16(14)414axax,因为14[4,8]x,而14a,所以4[4,8]a,故当且仅当144xa时,y有最小值为84aa……12分令844aa,解得241624a,所以a的最小值为241621.6……14分【2012高考冲刺样本】1—2试题精粹217、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）某森林出现火灾，火势正以每分钟2m100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）17、解：（1）210100501005xxt………5分（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费y＝125tx＋100x＋60（500＋100t）…………9分＝26000030000100210125xxxx…………10分＝2600030000)22(1002221250xxxx＝262500)2(10031450xx…………11分3645062500100231450…………12分当且仅当262500)2(100xx，即x＝27时，y有最小值36450．…………13分答：略…………14分17．（无锡市1月期末调研）（本小题满分14分）已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上