立体几何初步-复习课件

复习课件第一章立体几何初步学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的直观图，能计算几何体的表面积与体积.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都________S直棱柱侧＝Ch，C为底面的周长，h为高V＝Sh棱锥有一个面是，其余各面都是__________________的三角形S正棱锥侧＝Ch′，C为底面的周长，h′为斜高V＝Sh，h为高1.空间几何体的结构特征及其侧面积和体积互相平行四边形互相平行多边形公共顶点有一个1213S上S下多面体棱台用一个________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S正棱台侧＝(C＋C′)h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高V＝(S上＋S下＋)h，h为高旋转体圆柱以所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高V＝Sh＝πr2h锥底面平行于棱矩形的一边1213旋转体圆锥以直角三角形的所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝πrl，r为底面半径，h为高，l为母线V＝Sh＝πr2h圆台用______________的平面去截圆锥，之间的部分S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线V＝(S上＋S下＋)h＝πh131313S上S下13一条直角边平行于圆锥底面底面和截面(r21＋r22＋r1r2)旋转体球以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体S球面＝4πR2，R为球的半径V＝πR343半圆的直径半圆面2.空间几何体的直观图(1)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.(2)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段.②等积变换，如三棱锥转移顶点等.③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等.3.四个公理公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相.两点不在同一条直线上一条过该点的公共直线平行4.直线与直线的位置关系_____共面直线______异面直线：不同在______一个平面内，没有公共点平行任何相交判定性质定义定理图形条件____________________________________________________结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b5.平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质a∩α＝∅a⊆α，b⊈α，a∥ba∥α，a⊆β，α∩β＝ba∥α(2)面面平行的判定与性质α∩β＝∅判定性质定义定理图形条件________________________________________________________________________α∥β，a⊆β结论α∥βα∥βa∥ba∥αa⊆β，b⊆β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b(3)空间中的平行关系的内在联系6.垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直任意图形条件结论判定a⊥b，b⊆α(b为α内的直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，n⊆α，___________a⊥αa∥b，______b⊥αm∩n＝Oa⊥α性质a⊥α，______a⊥ba⊥α，b⊥α______b⊆αa∥b(2)平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l⊥α垂线(3)空间中的垂直关系的内在联系7.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫作异面直线a，b所成的角(或夹角).②范围：设两异面直线所成角为θ，则.(2)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角.②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.锐角(或直角)0°θ≤90°两个半平面垂直于棱1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n.()2.已知a，b是两异面直线，a⊥b，点P∉a且P∉b，一定存在平面α，使P∈α，a∥α且b∥α.()3.平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是垂直.()4.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.()5.若m，n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n⊆α或n∥α.()[思考辨析判断正误]√×√√√题型探究类型一平行问题例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.解答反思与感悟(1)证明线线平行的依据①平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；②公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理.(2)证明线面平行的依据①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质.(3)证明面面平行的依据①定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质；④面面平行的传递性.跟踪训练1如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；证明17(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.解答类型二垂直问题例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；证明在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊆平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE⊆平面PAC，∴CD⊥AE.证明(2)PD⊥平面ABE.证明反思与感悟(1)两条异面直线相互垂直的证明方法①定义；②线面垂直的性质.(2)直线和平面垂直的证明方法①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理.(3)平面和平面相互垂直的证明方法①定义；②面面垂直的判定定理.证明跟踪训练2如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.(1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；证明(2)求证：BC1⊥AB1.类型三空间角问题例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点.(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；证明(2)求二面角M－EF－N的正切值.解答反思与感悟(1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法；(2)找二面角的平面角的方法有以下两种：①作棱的垂面；②过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线.证明跟踪训练3如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点.(1)证明：平面POD⊥平面PAC；2AB解答(2)求二面角B－PA－C的余弦值.达标检测1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④不是棱柱答案12345解析√解析②如果m⊆γ，则m不平行于γ；③若m∥α，n∥α，则m，n相交，平行或异面，④若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行.1234解析答案52.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个说法：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确说法的序号是A.①B.②③C.③④D.①④√A.1∶2B.1∶3C.2∶2D.3∶63.正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为答案解析解析设正方体棱长为a，S正方体表面积＝6a2，正三棱锥侧棱长为2a，则三棱锥表面积为S三棱锥表面积＝4×34×2a2＝23a2.∴S三棱锥表面积S正方体表面积＝23a26a2＝13.12345√1234解析答案54.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形32√1234证明55.如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；证明因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊈平面MOC，OM⊆平面MOC，所以VB∥平面MOC.1234证明5(2)求证：平面MOC⊥平面VAB.证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊆平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊆平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为规律与方法2.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.谢谢