MATLAB-牛顿插值法例题与程序

题目一：多项式插值某气象观测站在8：00（AM）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。x12345678y22.523.324.421.7025.228.524.825.4二、数学原理假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x0，y0），……（xn，yn），插值多项式有如下形式：）（））（（）（）（）（n10n102010nx-x)(x-xx-xxPxxxxxx（1）其中系数i（i=0,1,2……n）为特定系数，可由插值样条iinyxP）（（i=0,1,2……n）确定。根据均差的定义，把x看成[a,b]上的一点,可得f(x)=f（0x）+f[10xx，]（0x-x）f[x,0x]=f[10xx，]+f[x,10xx，]（1x-x）……f[x,0x，…x1-n]=f[x,0x，…xn]+f[x,0x，…xn](x-xn)综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f(x)=f[0x]+f[10xx，]（0x-x）+f[210xxx，，]（0x-x）（1x-x）+…+f[x,0x，…xn]（0x-x）…(x-x1-n)+f[x,0x，…xn,x]）（x1n=Nn（x）+）（xnR其中Nn（x）=f[0x]+f[10xx，]（0x-x）+f[210xxx，，]（0x-x）（1x-x）+…+f[x,0x，…xn]（0x-x）…(x-x1-n)（2））（xnR=f(x)-Nn（x）=f[x,0x，…xn,x]）（x1n（3））（x1n=（0x-x）…(x-xn)Newton插值的系数i（i=0,1,2……n）可以用差商表示。一般有fk[k10xxx，]（k=0,1,2，……，n）（4）把（4）代入（1）得到满足插值条件N）（）（iinxfx（i=0,1,2，……n）的n次Newton插值多项式Nn（x）=f（0x）+f[10xx，]（1x-x）+f[210xxx，，]（1x-x）（2x-x）+……+f[n10xxx，]（1x-x）（2x-x）…（1-nx-x）.其中插值余项为：）（）！（）（）（）（）（x1nfxN-xfxR1n1nn介于k10xxx，之间。三、程序设计function[y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)%y为对应x的值，A为差商表，C为多项式系数，L为多项式%X为给定节点，Y为节点值，x为待求节点n=length(X);m=length(x);%n为X的长度fort=1:mz=x(t);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0;p=1.0;q1=1.0;c1=1.0;forj=2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));endq1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));fork=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k)=polyval(C,z);%输出y值endL(k,:)=poly2sym(C);%输出多项式symsM,X=[1,3,5,7];Y=[22.5,24.4,25.2,24.8];x=10;[y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)y=21.7313A=22.500000024.40000.95000025.20000.4000-0.1375024.8000-0.2000-0.1500-0.0021C=-0.0021-0.11871.452121.1688L=-x^3/480-(19*x^2)/160+(697*x)/480+3387/160四、结果分析和讨论对于不超过三次的插值多项式，x如果选取1,3,5,7这三个点能够得到较好的三次插值多项式L=-0.0021x^3-0.1187x^2+1.4521x+21.1688。当x=10时，也即9点30分时的温度为21.7317度，结果分析知此值应是偏小的。对于选取不同的插值节点，能够得到不同的插值多项式，误差也不尽相同。五、完成题目的体会与收获对于牛顿插值法有了更深的了解，合理选择插值节点很重要。加深了对其原理的认识，学会了牛顿插值法的matlab编程，对matlab计算方法更加熟悉。通过完成这道题使我受益匪浅。