17年高考真题―数学(理)(北京卷)+Word版含解析(参考版)

-1-绝密★本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。学科&网考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=（A）{x|–2x–1}（B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1}（D）{x|1x3}【答案】A【解析】21ABxx，故选A.（2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（–∞，1）（B）（–∞，–1）（C）（1，+∞）（D）（–1，+∞）【答案】B【解析】111ziaiaai，因为对应的点在第二象限，所以1010aa，解得：1a，故选B.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为-2-（A）2（B）32（C）53（D）85【答案】C【解析】0k时，03成立，第一次进入循环111,21ks，13成立，第二次进入循环，2132,22ks，23成立，第三次进入循环31523,332ks，33否，输出53s，故选C.（4）若x，y满足32xxyyx，，，则x+2y的最大值为（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，-3-2zxy表示斜率为12的一组平行线，当过点3,3C时，目标函数取得最大值max3239z，故选D.（5）已知函数1()3()3xxfx，则()fx（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】113333xxxxfxfx，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，13x是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0，使mn，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800mnmnmn，反过来，若0mn，那么两向量的夹角为0090,180，KS5U并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件，故选A.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为-4-（A）32（B）23（C）22（D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l，故选B.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093【答案】D-5-【解析】设36180310MxN，两边取对数，36136180803lglglg3lg10361lg38093.2810x，所以93.2810x，即MN最接近9310，故选D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m=_________.【答案】2【解析】1321mm（10）若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22ab=_______.【答案】1【解析】322131383,211(2)adqdqb（11）在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.【答案】1【解析】2222:2440(1)(2)1Cxyxyxy，所以min||||211APACr（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3，cos()=___________.【答案】79【解析】-6-2227sinsin,coscoscos()coscossinsincossin2sin19（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3解析】123,1(2)3（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.【答案】1Q；2.p三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在△ABC中，A=60°，c=37a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.-7-【答案】（1）根据正弦定理×sin33333=sin==sin60==sinsin77214。acCACACa（2）当=7a时3==37casin=3314C＜ca3cossin1421CC△ABC中sin=sin[π-(+)]=sin(+)BACACsincoscossin=AC+AC33133=+21421433=141139S=sin=733322144△=ABCacB（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=6，AB=4．（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．-8-【答案】（1）连接AC，BD.ACBD=O.连接OM∵PD∥平面MAC且平面PBD平面MAC=MO∴PD∥MO∵O为BD中点∴M为PB中点（2）取AD中点E，连接PE∵PA=PD∴PE⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD∴PE⊥平面ABCD建立如图所示坐标系则B(-2，4，0)P(0，0，2)D(2，0，0)A(-2，0，0)易知平面PDA的法向量0,1,0m设平面BPD的法向量000nx,y,z，则00000000002,0,22204,4,0440nDPx,y,zxznDBx,y,zxy-9-∴=1,1，2n∴二面角B-PD-A的平面角coscos22211231112mnm,n=mn（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机KS5U.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于-10-1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；学￥科网（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）分布列如下012p162316121=0+1+2=1636E（），即所求数学期望为1.（Ⅲ）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。（18）（本小题14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.【答案】（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=12∴C:y2=x∴焦点坐标（14，0）准线：x=-14。-11-（Ⅱ）设l：y=kx+12，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=22yxx，由题知A(x1，x1)，B(x1，122xyx)21y＞kx+2y=xk2x2+（k-1）x+14=0，x1+x2=21-kk，x1·x2=214k。1112121112221x（kx+）xyx+x12y+kx++=2kx+x2x2x，由x1+x2=21-kk，x1x2=214k，上式21111211-kk2kx+=2kx+（1-k）2x=2x12x4kx∴A为线段BM中点。（19）（本小题13分）已知函数f（x）=excosx−x.（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）f(x)=ex·cosx－x∴f(0)=1∴f´(x)=ex（cosx－sinx）－1f´(0)=0∴y=f(x)在（0，f(0)）处切线过点（0,1），k=0∴切线方程为y=1（Ⅱ）f´(x)=ex（cosx-sinx）－1，设f´(x)=g(x)∴g´(x)=－2sinx·ex≤0∴g(x)在［0，2］上单调递减，∴g(x)≤g(0)=0∴f’（x）≤0∴f(x)在［0，2］上单调递减，f(x)max=f(0)=1∴f(x)min=f(2)=－2（20）（本小题13分）-12-设{}na和{}nb是两个等差数列，记1122max{,,,}nnncbanbanban(1,2,3,)n，其中12max{,,,}sxxx表示12,,,sxxx这s个数中最大的数．（Ⅰ）若nan，21nbn，求123,,ccc的值，并证明{}nc是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，ncMn；或者存在正整数m，使得12,,,mmmccc是等差数列．【答案】（Ⅰ）当n1时，111211223112233=max{}=max{0}=0=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2cbacbabacbababa，，，，，，4所以，对于*nN且n2，都有11ncban，只需比较11ban与其他项的大小比较当*kN且1kn时，11()()kkbanban=k1n（2-1）-nk（1-k）n+2(k-1)=（k-1）(2-n)因为k-10,且2-n0,所以11kkbanban所以对于*nN且n211ncban=1-n所以-1=-1nnccn2又21=-1cc所以{}nc是以首项1=0cd=-1为公差的等差数列。（Ⅱ）（1）设{}na、{}nb的公差为12d,d，对于1122,,,nnbanbanban其中任意项iiban（*iN,1in）i1211=b(i1)da(i1)dibann1121=+iban（）（-1）(d-dn)-13-①若21120,则10iidb-anbanid则对于给定的正整数n，11nC=ban此时1+1-=-nnCCa，故数列