全国通用2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算课

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算[考纲传真]1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有______又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的___________.(2)零向量：__________的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于__________的向量．(4)平行向量：方向____________的非零向量．平行向量又叫__________．规定：0与任一向量______．(5)相等向量：长度______且方向______的向量．(6)相反向量：长度______且方向______的向量．大小方向长度(或模)长度为01个单位相同或相反共线向量平行相等相同相等相反2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝_______；(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________b＋aa＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝____；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_______.λμaλa＋μaλa＋λbb＝λa1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．()(4)△ABC中，D是BC的中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→A[AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝43AC→－13AB→＝－13AB→＋43AC→.故选A.]3．(2017·银川质检)设点P是△ABC所在平面内一点，且BC→＋BA→＝2BP→，则PC→＋PA→＝________.0[因为BC→＋BA→＝2BP→，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故PC→＋PA→＝0.]4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________(用a，b表示)．b－a－a－b[如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.]5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.－13[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴λ＝－k，3k＝1，得λ＝－13，k＝13.]平面向量的有关概念给出下列六个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a||b|，则ab；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB→＝DC→，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．][规律方法]1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a为非零向量，则a|a|是与a同向的单位向量，－a|a|是与a反向的单位向量．[变式训练1]设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()【导学号：31222141】A．0B．1C．2D．3D[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]平面向量的线性运算(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.BC→B.12AD→C.AD→D.12BC→(2)(2016·广东广州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD→＝mBA→＋nBC→(m，n∈R)，则mn＝()A．－3B．－13C.13D．3(1)C(2)A[(1)如图，EB→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→＝EC→＋FB→＝12(AC→＋AB→)＝12·2AD→＝AD→.(2)如图，过D作DE∥AB，CD→＝mBA→＋nBC→＝CE→＋ED→＝－13BC→＋BA→，所以n＝－13，m＝1，所以mn＝－3.故选A.][规律方法]向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2](1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→(2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．(1)D(2)－2[(1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得OA→＋OC→＝2OM→，OB→＋OD→＝2OM→，所以OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝4OM→.故选D.(2)因为D是BC的中点，则AB→＋AC→＝2AD→.由PA→＋BP→＋CP→＝0，得BA→＝PC→.又AP→＝λPD→，所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP→＝AB→＋AC→＝2AD→＝－2PD→，所以λ＝－2.]共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)证明：∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，2分∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.5分(2)∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.9分∵a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.12分[规律方法]共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3](1)已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.(1)B(2)12[(1)∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，∴BD→，AB→共线，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.(2)∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴λ＝t，1＝2t，解得λ＝12，t＝12.][思想与方法]1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，OA→，OB→不共线，满足OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.[易错与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．