DSP第二章 离散时间序列与系统

2-1离散时间信号的表示及运算规则1.序列表示法离散时间信号在数学上表示成数的序列，序列x可用公式写为x={x(n)}注：n取整数∞n∞-x(n)2.序列的运算规则及符号表示(1)序列的积yxy(n)x(n)(n)(2)序列的加减(3)序列的标乘(4)序列的延时（有时也称移位）(5)分支运算y1(n)=x(n)y2(n)=x(n)3.常用的典型序列(1)单位取样序列(离散冲激)(2)单位阶跃序列与之间的关系：(3)矩形序列（4）实指数序列当n0，x(n)＝0时，上式可表示为图2.5表示0a1时，anu(n)的图形（5）复指数序列这里ω为数字域频率，单位为弧度。当a＝0时，上式可表示成式(2．11)还可写成（6）正弦型序列式中，A为幅度，ω为数字域频率，φ为初相，φ的单位为弧度。4.序列的周期性周期序列的概念。如果对所有n存在一个最小整数N，满足则称x(n)为周期序列，记为，最小周期为N。现在讨论正弦序列的周期性。设根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期为（其中N，k为整数）(1)当为整数时，正弦序列为周期序列，且最小周期为(2)当为有理数时，正弦序列为周期序列，且周期大于(3)当为无理数时，则任何整数k都不能使N为整数，这时正弦序列不是周期序列。5．用加权延时单位取样序列的线性组合表示任意序列任意序列都可以表示成多个甚至无穷多个经标乘的延时的单位取样序列之和，一般情况下，序列x(n)可表示为6.序列的能量序列的能量定义为序列各取样值的平方和，即2-2连续时间信号的取样及取样定理对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。20xa(t)ot(a)(b)xa(t))(ˆatxTp(t)tttt(c)(e)(d)(f)s(t)xp(t))(ˆatxooooT1T1.信号取样如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为τ的脉冲，(如图)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲，以p(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为=xa(t)p(t)一般τ很小,τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。开关闭合时间τ→0时，为理想采样。特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用表示这个冲激载波，)(pt表示连续时间信号表示理想冲激取样信号可以表示为δ(t-nT)只有在t=nT的时刻非零，故有2.取样定理冲激函数序列pδ(t)是以取样间隔T为周期的周期性函数，也就是在t=nT的时刻，其值为1，其他值为零。其傅氏级数展开由此可得冲激函数序列的各次谐波的幅度度都等于1/T26理想采样信号的频谱理想取样信号的频谱实际上就是理想抽样信号的傅里叶变换dttptxdtjXa)()((t)exˆ)(ˆtj-mtmjatjtjmadtetxTdteetxjXss)(m)(1)(T1)(ˆ将pδ(t)代入dtetxjXtjaa)()(原输入连续时间信号xa(t)的频谱应为xa(t)的傅里叶变换])([1)(ˆmsamjXTjXmtmjatjtjmadtetxTdteetxjXss)(m)(1)(T1)(ˆ理想取样信号的频谱280Ωc－ΩcXa(jΩ)P(jΩ)－ΩsΩsΩΩ0Xa(jΩ)Ω0Xa(jΩ)ΩΩcΩs（a）（b）（c）（d）＾＾2s0－ΩsΩs－Ωsδ2s2s傅氏变换仍为冲激序列导致频域周期延拓sfTs22最高截止频率为Ωc1/T由以上讨论可以得到一个重要结论：取样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行的周期延拓而成。这个取样信号的频率就是取样角频率，其幅度是原来信号频谱幅度的1/T倍。30)(ˆjXa抽样信号的频谱为周期性信号，其周期为,22ssfTTs2,2Cs当将在2s发生频率混叠或,2/Cs,2hs当或,2/Cs频率不混叠带宽为的理想低通滤波器山农取样定理：取样频率必须大于原模拟信号频率中最高频率的两倍，则可由其取样信号x(nT)来唯一表示。为了避免发生混叠现象，必须使32由此得出ktjkktjksseFTeTFtsFjS11)]([)(由于)(2][sjkkeFs所以)(2)(skkTjSktjkseTts1)(ktjkkseats)(33根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得TdtetTdtenTtTdtetsTaTTtjkntjkTTtjkTTksss1)(1)(1)(12/2/2/2/2/2/利用了以下关系:dtttff)()()0(因而ktjkseTts1)(ktjkkseats)(34dkjXTdkjXTjXkTjXsakksakasa)()(1)()(1)()(221)(ˆ根据冲激函数的性质，可得ksaajkjXTjX)(1)(ˆ或者kaaTjkjXTjX21)(ˆ2008-3李建勋[e-mail]350Xa(jΩ)Ω＾G(jΩ)xa(t)ya(t)0G(jΩ)Ω－π/Tπ/T0Xa(jΩ)Ω（a）（b）（c）（d）＾2||02||)(ssTjG抽样的恢复36(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行奈奎斯特取样定理称为折叠频率Ts2(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号x^a(t)通过一个增益为T，截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则Ωs2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量，才能无失真地恢复原连续信号。37在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到Ωs取(3～4)Ωh。同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般在采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为Ωs/2，以便滤除掉高于Ωs/2的频率分量。38Xa(j)ππ－0o0)j(ˆaX－0o0－s2ss)j(ˆaX－0o0－s2ss(c)(b)(a)2s0＜T2s0＞TTTttxa0cos)(分析余弦信号情况下频谱混叠:39－00Ya(j)Ya(j)－(s－0)ππππ混叠无混叠(e)(d)0＞T0＜Toos－0ttya0cos)(ttysa)cos()(0400Xa(jΩ)Ω＾G(jΩ)xa(t)ya(t)0G(jΩ)Ω－π/Tπ/T0Xa(jΩ)Ω（a）（b）（c）（d）＾1/2/21()()2sinsin12222()ssjtsjtsshtFGjGjedttTTedttTT其中，6.抽样的理想恢复内插函数()()()sanxtxnTtnT41()[()()]()()()()()()sin(()/)()()/sin(()/)()()/()aanananananytxnTnTgtdxnTnTgtdxnTgtnTtnTTxnTtnTTtnTTxnTatnTTxt42maamTtTmTtTSinmTxtx:)(5.抽样的理想恢复43抽样恢复的实际做法零阶保持器的输出波形零阶保持器的幅度响应44