第五章 3轴对称与坐标变化

3轴对称与坐标变化一、关于x轴或y轴对称的两个点的坐标的关系如右图，点A，B，C，D的坐标分别为_______，_______，_______，________，作出点A，B，C，D关于x轴的对称点A1，B1，C1，D1，则A1，B1，C1，D1的坐标分别为________，________，________，_________.(3，2)(4，5)(5，3)(-6，4)(3，-2)(4，-5)(5，-3)(-6，-4)作出点A，B，C，D关于y轴的对称点A2，B2，C2，D2，则A2，B2，C2，D2的坐标分别为________，________，________，_______.(-3，2)(-4，5)(-5，3)(6，4)【归纳】关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标_____，纵坐标___________.关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标_____，横坐标___________.相同互为相反数相同互为相反数二、在坐标系中作一个图形关于x轴或y轴的对称图形，需作出这个图形的顶点关于x轴或y轴的_______，然后_____连接这些_______.将一个图形各顶点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，那么得到的图形与原图形关于__轴对称.将一个图形各顶点的纵坐标乘以-1，横坐标不变，那么得到的图形与原图形关于__轴对称.对称点顺次对称点yx【预习思考】若点P关于x轴和y轴的对称点分别为P1和P2，则P1和P2的坐标有什么关系？提示：横、纵坐标均互为相反数.知识点1关于x轴或y轴对称的点的坐标的特征【例1】(6分)如图为边长是2cm的正六边形ABCDEF(六条边都相等，六个角都相等)，其中心在原点上，点B在x轴的负半轴，求出点A，点D，点E的坐标.【规范解答】由点A向x轴作垂线，设垂足为H，AF交y轴于G.因为点A与点F关于y轴对称，所以AG=GF=___=__.………………………………………………………………1分又OB=AB=2，OH=AG=1，BH=___________；………………………………………………………………2分在Rt△ABH中，由勾股定理得AH==___________.………………………………………………………………3分12AF12-OH=2-1=12____BH2AB22213又点A在第二象限，所以点A的坐标为.………4分点D与点A关于原点对称，所以点D的坐标为.………………………………5分又OB=OE=2，点E在x轴的正半轴上，所以点E的坐标为_______.………………………………6分(13)，(13)，(2，0)特别提醒：要根据点所在的象限来确定横、纵坐标的正负.【互动探究】点P(a，b)到坐标轴的距离如何求？提示：(1)到x轴的距离为|b|，(2)到y轴的距离为|a|.【规律总结】坐标系中对称点横纵坐标的特点注：对称与坐标变化的对应关系反之亦成立.横坐标纵坐标关于x轴对称不变互为相反数关于y轴对称互为相反数不变关于原点对称互为相反数互为相反数【跟踪训练】1.(2012·成都中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(-3，5)关于y轴的对称点的坐标为()(A)(-3，-5)(B)(3，5)(C)(3，-5)(D)(5，-3)【解析】选B.点P(-3，5)关于y轴的对称点的坐标为(3，5).2.若A(a，b)，B(b，a)表示同一个点，那么这一点一定在()(A)第二、第四象限的角平分线上(B)第一、第三象限的角平分线上(C)平行于x轴的直线上(D)平行于y轴的直线上【解析】选B.因为A(a，b)，B(b，a)表示同一个点，所以a=b，即点A、点B的横纵坐标相等，所以这一点在第一、第三象限的角平分线上.3.已知点A(a，-2)与点B(，b)关于x轴对称，则a=________，b=________.【解析】因为关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以a=，b=2.答案：2131313知识点2在坐标系中作一个图形关于x轴或y轴的对称图形【例2】在如图所示的坐标系中，作出四边形ABCD关于x轴对称的四边形A′B′C′D′.【解题探究】1.关于x轴对称的两个点的坐标有什么关系？提示：横坐标相同，纵坐标互为相反数.2.在坐标系中，作出四边形A′B′C′D′的关键是什么？提示：确定A′，B′，C′，D′的位置.3.A′，B′，C′，D′的坐标分别为________，_______，_______，________.(-2，1)(1，3)(4，1)(1，-1)4.在坐标系中描出A′，B′，C′和D′四个点，并顺次连接这四个点，得四边形A′B′C′D′即为四边形ABCD关于x轴的对称图形.作图如图所示：【规律总结】在坐标系中作轴对称图形的“四步法”1.确定原图形中各个顶点的坐标.2.根据对称点的坐标关系确定对称点的坐标；3.在坐标系中描出各个对称点.4.顺次连接这些对称点，即得原图形的轴对称图形.【跟踪训练】4.已知：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A1的坐标为()(A)(-4，2)(B)(-4，-2)(C)(4，-2)(D)(4，2)【解析】选D.由图可得点A的坐标为(-4，2)，则其关于y轴对称的点的坐标为(4，2).5.如图，正方形的四个顶点是A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-1)，D(1，-1).试求横、纵坐标都分别乘2后所得正方形的面积.【解析】因为原正方形ABCD的各点的横、纵坐标分别乘2，即原正方形横向、纵向都被拉长为原来的2倍，则可得新正方形A1B1C1D1如图所示，则有A1B1=B1C1=C1D1=D1A1=2×2=4，所以其面积为S1=4×4=16.【高手支招】图形的扩大、缩小与该图形面积之间的关系图形扩大到原来的n倍，则图形的面积扩大到原来的n2倍；图形缩小到原来的，则图形的面积缩小到原来的()2.1n1n1.将△ABC的三个顶点的横、纵坐标都乘以-1，所得图形与原图形的关系是()(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于原点对称(D)将△ABC沿y轴负方向平移了1个单位长度【解析】选C.△ABC的横、纵坐标都乘以-1，则相当于横、纵坐标都取相反数，所以所得图形与原图形关于原点对称.2.如图，在边长为1的正方形网格中，则△ABC中与点B关于x轴对称的点的坐标是()(A)(1，2)(B)(-1，2)(C)(2，-1)(D)(-1，-2)【解析】选D.因为点B(-1，2)，所以点B(-1，2)关于x轴对称的点的坐标为(-1，-2).3.若点A(2x+1，y-3)与点B(3x-1，2y+1)关于x轴对称，则xy=________.【解析】因为点A(2x+1，y-3)与点B(3x-1，2y+1)关于x轴对称，所以2x+1=3x-1，(y-3)+(2y+1)=0，解得x=2，y=，所以xy=.答案：2343434.如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是________.【解析】观察图形可知点A的坐标为(-4，6)，所以点A的对应点的坐标是(-4，6×)，即(-4，3).答案：(-4，3)12125.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1.5，1.5)，B(-2，-2.3)，C(-3.5，0).若A，B，C的纵坐标不变，横坐标乘-1，求出对应点A′，B′，C′的坐标，并说出两图形间的关系.【解析】如图，点A′(1.5，1.5)，点B′(2，-2.3)，点C′(3.5，0)，△ABC与△A′B′C′关于y轴对称.