绝对值三角不等式及其应用

绝对值三角不等式关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.①2aa②abab,aabb,……|a|AaOx|a|=,00,0,0aaaaa一、复习回顾几何意义:绝对值的性质:猜想：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）种关系。之间的关系。并表示这与；猜想、、数探究：列举大量具体实babacba已知,ab是实数，试证明：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）证明:10.当ab≥0时,||,||()||||||||(||||)||||22222222ababababaabbaabbabab20.当ab0时,||,||()||||||||||||||(||||)||||22222222222ababababaabbaabbaabbabab综合10,20知定理成立.如果把,ab换为向量,ab，根据向量加法的三角形法则,易知abab≤.(同向时取等号)定理1（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）abababab推论1（运用数学归纳法可得）：1212≤nnaaaaaaLL.探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？|a-b|≤|a|+|b|,|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|.如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|什么时候等号成立？定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。绝对值三角不等式的应用例1已知ε0,|x-a|ε,|y-b|ε,求|2x+3y-2a-3b|5ε证:证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|5ε.例2:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?分析:如果生活区建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km.那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题转化为数学问题:当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.解:设生活区应该建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我们先来考察它的图像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x0x102010x204x-60x20S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x||(x-10)+(20-x)|=10当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号.又解不等式:(x-10)(20-x)0得:10x20故当10x20时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的定义域为［-1，1］，且|f(x)|的最大值为M.(1)证明：|1+b|≤M;(2)当时，试求出f（x）的解析式.由|f(x)|在［-1，1］上的最大值为M建立不等式M≥|f（1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（-1）|是解决问题的关键.【例3】;21:)2(M证明21M思维启迪（1）证明∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|，2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|，∴M≥|1+b|.（2）证明依题意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，又f（-1）=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|，∴4M≥|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2，.21M（3）解,21|||)0(|,21bfM时当.21)(,01001②③,21,21①④2123③②211212112121212xxfaaabbbbabab因此得分别代入时当得由得同理①②③④证明含有绝对值的不等式，其思路有两种：（1）恰当运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；（2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法进行证明.探究提高例4设f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1,求证：|f（2）|≤8.证明方法一∵当|x|≤1时,|f（x）|≤1，∴|f（0）|≤1，即|c|≤1.又|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，∴|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1.又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|，且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4，∴|a|≤2.∵|2b|=|a+b+c-（a-b+c）|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2，∴|b|≤1，∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b|≤|f（1）|+3|a|+|b|≤1+6+1=8，即|f（2）|≤8.方法二∵当|x|≤1时，|f（x）|≤1，∴|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1.由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，f（0）=c知∴f（2）=|4a+2b+c|=|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3×1+1×1+3×1=7≤8.,2)0(2)1()1(fffa).0(,2)1()1(fcffb