数学物理方程-第三章练习题

.......第三章调和方程LaplaceEquations齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院[e-mail]齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-31/69目录...1建立方程、定解条件...2格林公式及其应用...3格林函数...4强极值原理、第二边值问题解的唯一性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-32/69...1建立方程、定解条件...2格林公式及其应用...3格林函数...4强极值原理、第二边值问题解的唯一性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/69建立方程、定解条件.Example1.1........设u(x1,...,xn)=f(r)(其中r=√x21+···+x2n)是n维调和函数,试证明f(r)=c1+c2rn−2(n,2),f(r)=c1+c2ln1r(n=2),其中c1,c2为任意常数.证明:由于r=√x21+···+x2n,知∂u∂xi=f′(r)∂r∂xi=f′(r)xir,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/69建立方程、定解条件.Example1.1........设u(x1,...,xn)=f(r)(其中r=√x21+···+x2n)是n维调和函数,试证明f(r)=c1+c2rn−2(n,2),f(r)=c1+c2ln1r(n=2),其中c1,c2为任意常数.证明:由于r=√x21+···+x2n,知∂u∂xi=f′(r)∂r∂xi=f′(r)xir,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/69建立方程、定解条件∂2u∂x2i=x2ir2f′′(r)+(1r−x2ir3)f′(r),(i=1,2,...,n)将上式代入调和方程得f′′(r)+n−1rf′(r)=0,即f′′(r)f′(r)=−n−1r.对上式两边积分即得结论.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-34/69建立方程、定解条件.Example1.2........证明:拉普拉斯算子在球面坐标(r,θ,φ)下可以写成△u=1r2∂∂r(r2∂u∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂u∂θ)+1r2sin2θ∂2u∂φ2.证明:方法一:球面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ,为计算简单,将此坐标变换分为两步x=Rcosφ,y=Rsinφ,z=z,及R=rsinθ,φ=φ,z=rcosθ.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/69建立方程、定解条件.Example1.2........证明:拉普拉斯算子在球面坐标(r,θ,φ)下可以写成△u=1r2∂∂r(r2∂u∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂u∂θ)+1r2sin2θ∂2u∂φ2.证明:方法一:球面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ,为计算简单,将此坐标变换分为两步x=Rcosφ,y=Rsinφ,z=z,及R=rsinθ,φ=φ,z=rcosθ.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/69建立方程、定解条件由柱面坐标系下Laplace算子的表达式知△u=∂2u∂R2+1R2∂2u∂φ2+1R∂u∂R+∂2u∂z2.(1.1)再由∂u∂r=∂u∂Rsinθ+∂u∂zcosθ,∂u∂θ=∂u∂Rrcosθ−∂u∂zrsinθ,反解得∂u∂z=cosθ∂u∂r−sinθr∂u∂θ,∂u∂R=sinθ∂u∂r+cosθr∂u∂θ.(1.2)注意到R2+z2=r2,tanθ=Rz,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36/69建立方程、定解条件故有∂r∂z=cosθ,∂θ∂z=−sinθr,∂r∂R=sinθ,∂θ∂R=cosθr.(1.3)由(1.2)及(1.3)知∂2u∂z2=cos2θ∂2u∂r2+sin2θr2∂2u∂θ2+sin2θr∂u∂r+sin2θr2∂u∂θ−sin2θr∂2u∂r∂θ,∂2u∂R2=sin2θ∂2u∂r2+cos2θr2∂2u∂θ2+cos2θr∂u∂r−sin2θr2∂u∂θ+sin2θr∂2u∂r∂θ.将最后两式及(1.2)代入(1.1)并加以整理,即得到所需结果.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/69建立方程、定解条件方法二:采用正交曲线坐标系(q1,q2,q3)q1=q1(x,y,z),q2=q2(x,y,z),q3=q3(x,y,z),另一方面(x,y,z)也可表为(q1,q2,q3)的函数x=x(q1,q2,q3),y=y(q1,q2,q3),z=z(q1,q2,q3).并记拉梅系数为H1,H2,H3为H1=√(∂x∂q1)2+(∂y∂q1)2+(∂z∂q1)2,H2=√(∂x∂q2)2+(∂y∂q2)2+(∂z∂q2)2,H3=√(∂x∂q3)2+(∂y∂q3)2+(∂z∂q3)2,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-38/69建立方程、定解条件则有ds2=H21dq21+H22dq22+H23dq23.此时Laplace算子在曲线坐标系中的表达式为△u=1H1H2H3[∂∂q1(H2H3H1∂u∂q1)+∂∂q2(H3H1H2∂u∂q2)+∂∂q3(H1H2H3∂u∂q3)].(1.4)在球面坐标系下q1=r,q2=θ,q3=φ,ds2=dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2,H1=1,H2=r,H3=rsinθ将H1,H2,H3代入(1.4)即得球面坐标下Laplace算子的表达式.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/69建立方程、定解条件.Example1.3........证明:拉普拉斯算子在柱面坐标(r,θ,z)下可以写成△u=1r∂∂r(r∂u∂r)+1r2∂2u∂θ2+∂2u∂z2.证明:方法一:柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,或者为r=(x2+y2)1/2,θ=arctanyx,z=z.从而∂r∂x=xr=cosθ,∂r∂y=yr=sinθ,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/69建立方程、定解条件.Example1.3........证明:拉普拉斯算子在柱面坐标(r,θ,z)下可以写成△u=1r∂∂r(r∂u∂r)+1r2∂2u∂θ2+∂2u∂z2.证明:方法一:柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,或者为r=(x2+y2)1/2,θ=arctanyx,z=z.从而∂r∂x=xr=cosθ,∂r∂y=yr=sinθ,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/69建立方程、定解条件∂θ∂x=−yx2+y2=−sinθr,∂θ∂y=xx2+y2=cosθr.由此得∂u∂x=∂u∂rcosθ−∂u∂θsinθr,∂u∂y=∂u∂rsinθ+∂u∂θcosθr,∂2u∂x2=∂2u∂r2cos2θ−2∂2u∂r∂θ·sinθcosθr+∂2u∂θ2sin2θr2+∂u∂rsin2θr+∂u∂θsin2θr2,∂2u∂y2=∂2u∂r2sin2θ+2∂2u∂r∂θ·sinθcosθr+∂2u∂θ2cos2θr2+∂u∂rcos2θr−∂u∂θsin2θr2,将最后两式相加,并加以整理,即得到所需结果.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/69建立方程、定解条件方法二:同上题,在柱面坐标系下q1=r,q2=θ,q3=z,则ds2=dr2+r2dθ2+dz2,H1=1,H2=r,H3=1,代入(1.4)即得柱面坐标下Laplace算子的表达式.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-312/69建立方程、定解条件.Example1.4........证明下列函数都是调和函数:...1ax+by+c(a,b,c为常数);...2x2−y2和2xy;...3x3−3xy2和3x2y−y3;...4shnysinnx,shnycosnx,chnysinnx和chnycosnx(n为常数);...5shx(chx+cosy)−1和siny(chx+cosy)−1.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/69建立方程、定解条件证明:方法一:直接求导加以验证;方法二:利用复变函数的方法加以验证,即运用解析函数的实部和虚部均为调和函数的性质予以证明....1△(ax+by+c)=0;...2取复变量函数为f(z)=z2=(x+iy)2;...3取复变量函数为f(z)=z3=(x+iy)3;...4取复变量函数为f1(z)=sh(nz)=sh(n(y+ix)),f2(z)=ch(nz)=ch(n(y+ix));...5取复变量函数为f(z)=thz2=shz2/chz2,除去x=0且y=(2k+1)π(k=0,±1,±2,...)外均调和.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314/69建立方程、定解条件.Example1.5........证明用极坐标表示的下列函数都是调和函数:...1lnr和θ;...2rncosnθ和rnsinnθ(n为常数);...3rlnrcosθ−rθsinθ和rlnrsinθ+rθcosθ.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315/69建立方程、定解条件证明:方法一:直接求导加以验证;方法二:记z=reiθ,利用解析函数的实部和虚部均为调和函数的性质予以证明....1取复变量函数为f(z)=lnz=lnr+iθ;...2取复变量函数为f(z)=zn=rncosnθ+irnsinnθ;...3取复变量函数为f(z)=zlnz=r(cosθ+isinθ)(lnr+iθ).齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316/69建立方程、定解条件.Example1.6........用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板(0≤x≤a,0≤y≤b)上的稳定温度分布:uxx+uyy=0,u(0,y)=u(a,y)=0,u(x,0)=sinπxa,u(x,b)=0.解:令u(x,y)=X(x)Y(y)代入uxx+uyy=0的X和Y分别满足X′′+λX=0,X(0)=X(a)=0;(1.5)Y′′−λY=0.(1.6)齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317/69建立方程、定解条件.Example1.6........用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板(0≤x≤a,0≤y≤b)上的稳定温度分布:uxx+uyy=0,u(0,y)=u(a,y)=0,u(x,0)=sinπxa,u(x,b)=0.解:令u(x,y)=X(x)Y(y)代入uxx+uyy=0的X和Y分别满足X′′+λX=0,X(0)=X(a)=0;(1.5)Y′′−λY=0.(1.6)齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317/69建立方程、定解条件(1.5)只有λ0时有非零解,λ=λk=k2π2a2,Xk(x)=Cksinkπax,Yk(y)=Ake−√λky+Bke√λky.故定解问题的解为u(x,y)=∞∑k=1(Ake−kπay+Bkekπay)sinkπax.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318/69建立方程、定解条件由边界条件得∞∑k=1(Ak+Bk)sinkπax=sinπxa,∞∑k=1(Ake−kπab+Bkekπab)sinkπax=0.解得A1=ebaπ2shbaπ,B1=−e−baπ2shbaπ,Ak=Bk=0(k,1).综上得u(x,y)=shπ(b−y)ashπbasinπxa.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-319/69建立方程、定解条件.Example1.7........在膜型扁壳渠道闸门的设计中,为了考察闸门在水压力作用下的受力情况,要在矩形区域0≤x≤a,0≤y≤b上求解如下的非齐次调和方程的边值问题:△u=py+q(p0,q0常数