高中数学排列组合

1.2排列与组合一、排列与排列数什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？应用这两个原理时应注意什么问题？?,1,1,231有多少种不同的选法同学参加下午的活动名另名同学参加上午的活动其中一项活动名参加名同学中选出从甲、乙、丙问题.,,,23:少种不同排法求一共有多序排列顺参加下午的活动在后的前按照参加上午的活动在名名同学中选出从甲、乙、丙个问题我们可以这样来分析这排列.2,2,,,2;3,13,,1:种方法于是有中去选人能从余下的参加下午活动的同学只学确定后当参加上午活动的同学确定参加下午活动的同步第种方法有人人中任选从午活动的同学确定参加上步第步骤解决这一问题可分两个.,623,,23,如图种排列的不同方法共有午活动在后的顺序加下参照参加上午活动在前按名名同学中选出在根据分步乘法计数原理上午下午相应的排法甲乙甲丙乙甲丙乙甲乙丙丙甲乙丙甲丙乙丙甲乙:,于是问题可叙述为象叫做把上面问题中被取的对元素?,,2c,b,a3少种不同的排列方法一共有多列按照一定的顺序排成一然后个中任取个不同元素从.623,cb,ca,bc,ba,ac,ab种共有所有不同的排列是?,3,44,3,2,12的三位数共可以得到多少个不同一个三位数个排成每次取出个数字中这从问题:..,,3,4,题三个步骤来解决这个问可以分少个不同的三位数不同的排列方法就有多因此有多少种就得到一个三位数的顺序排成一列位个十百按个每次取出个数字中从显然;4,144,3,2,1,,1种方法有个取个数字中任这在确定百位上的数字步第;3,3,,,2种方法有个数字中去取下的十位上的数字只能从余当百位上的数字确定后确定十位上的数字步第;2,2,,,3种方法有中去取个数字下的个位上的数字只能从余字确定后当百位、十位上的数确定个位上的数字步第.,24,24234,,3,44,3,2,1,如图个不同的三位数共可得到因而种不同的排法共有排成一列位的顺序个十百按个数字每次取出字中个不同的数这从根据分步乘法计数原理2131322141423141433242433214214314324321,432,431,423,421,413,412,342,341,324,321,314,312,243,241,234,231,214,213,143,142,134,132,124,123:数由此可写出所有的三位:2,可归结为问题同样?,,3d,c,b,a4种不同的排列方法共有多少的顺序排成一列然后按照一定个中取出个不同的元素从.24234.dcb,dca,dbc,dba,dac,dab,cdb,cda,cbd,cba,cad,cab,bdc,bda,bcd,bca,bad,bac,adc,adb,acd,acb,abd,abc种共有所有不同的排列有3141433242434314322121313221414232142143??2,1们推广到一般情形吗你能将它的共同特点是什么上述问题思考?征吗你能归纳一下排列的特思考).tarrangemen(mn,,)n(mn,个元素的一个出个不同元素中取叫做从按照一定顺序排成一列个元素个不同的元素中取出从一般地m排列.,,132123;,134123,2.,,,它们也是不同的排列素的排列顺序不同但元虽然元素完全相同与是不同的排列它们的元素不完全相同与中如在问题例同且元素的排列顺序也相列的元素完全相同当且仅当两个排两个排列相同根据排列的定义排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．1、排列定义如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.对“n取m的一个排列”的认识：1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。.A,mnnmmnmn表示用符号个元素的个不同元素中取出不同排列的个数叫做从个元素的所有个不同元素中取出从排列数.tarrangemenA的第一个字母排列是英文字;623A,A,23,12323已经算得记为的排列数个元素个不同元素中取出是求从上面的问题.24234A,A,34,23434已经算得记为的排列数个元素个不同元素中取出是求从上面的问题2、排列数?nmA,A?A2nmn3n2n又各是多少是多少数个元素的排列个不同元素中取出从探究:A,2.12n考虑可以这样求排列数的经验根据解问题.A,.,;,,2a,,a,an,)32.1(2nn21是排列数所有不同填法的种数就因此到样一种填法得任一个排列总可以由这过来反排列每一种填法就得到一个填一个元素一个空位个去填空取中任意元素个从图空位假定有排好顺序的两个位第1位第2种n种1n32.1图;n,1n,1,1种方法有个素中任选个元可以从这个位置的元素填第步第.1n,11n,2,2种方法有个个元素中任选可以从剩下的个位置的元素填第步第.1nnA2,2n数为个空位的填法种根据分步乘法计数原理.2n1nnA,3A,3n3n有个空位来考虑可依次填求排列数同理:.事可分为两个步骤完成填空这件填法现在我们计算有多少种.,.,,,,,,:,21mnnmnAmaaanmmA是排列数所有不同填法的种数就因此排列每一种填法就对应一个填一个元素一个空位个去填空中任意取个元素从个空位假定有排好顺序的来考虑个空位可以按依次填求排列数一般地位第1位第2位第3位第m种n种1n种2n种1mn:m个步骤填空可分为;n,n1,1种选法共有个元素中任选一个填上位可以从第步第;1n,1n2,2种选法共有个填上个元素中任选一位只能从余下的第步第;2n,2n3,3种选法共有个填上个元素中任选一位只能从余下的第步第.1mn,1mnm,1m,m种选法有共个元素中任选一个填上能从余下的位只第个空位都填上后当前面的步第.1mn2n1nnm,种填法个空位共有全部填满根据分步乘法计数原理我们就得到公式这样,.1mn2n1nnAmn..,,,排列数公式这个公式叫做并且这里nmNmn.678A,45A.nmmn,3825例如素的所有排列的个数个元个不同元素中取出出从我们就能方便地计算根据排列数公式?式的特点吗你能概括一下排列数公,1232n1nnA,nm.n,nmn即有这时公式中个元素的一个全排列叫做一个排列个不同元素全部取出的式可以写成不同元素的全排列数公个所以表示用的叫做连乘积的到正整数的连乘积到等于正整数排列数个不同元素全部取出的就是说n.!n,n,n1.n1,n,阶乘!nAnn.1!0,我们规定另外1mn2n1nnA,mn事实上12mn12mn1mn2n1nn.AA!mn!nmnmnnn.!mn!nAmn排列数公式还可以写成因此,1.排列数公式的特点：第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n－m＋1,共有m个因数．注:规定0!1,其中mn≤.!!)1)...(2)(1(mnnmnnnnAmn3、排列数公式,12321,.,.2nnnAnmnnnn即有这时公式中一个全排列个元素的叫做一个排列个不同元素全部取出的从例1.下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除例题选讲（5）20位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信（7）以圆上的10个点为端点作弦（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（9）有10个车站，共需要多少种车票？（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？?,,14.2共进行多少场比赛分别比赛一次、客场每队要与其余各队在主个队参加联赛有组某年全国足球甲级例A.1821314A,.214,11214比赛的总场次是因此元素的一个排列个个元素中任取对应于从客场比赛次次主场比赛与任意两队间进行解?,1,3352?,1,3351.3共有多少种不同的送法本人各每名同学本送给种不同的书中买从共有多少种不同的送法本每人各学名同本送给本不同的书中选从例.60345A,35,335135因此不同送法的种数是一个排列个元素的个不同元素中任取对应于从学名同本送给本不同的书中选出从解.12555513,51,52本书的不同方法种数是学每人各名同因此送给种不同的选购方法书都有本送给每个同学的种不同的书由于有.算步乘法计数原理进行计只能用分,条件符合使用排列数公式的因此不,可能相同由于不同的人得到的书,中2而;属于求排列数问题,到的书的书各人得,名同学3本送3不同的书同的书本5是从1:中两两个问题的区别在3例?,1090.4重复数字的三位数可以组成多少个没有个数字这到用例.,.0,,0,1090来考虑问题殊元素的排列位置入手我们可以从特一般的是一个特殊的元素因此数可以排在任意位置上而其他能排在百位上不因为个数字中这到在本问题的分析可以从余下排十位和个位上的数字步第种选法有个这九个数字中任选到可以从上的数字百位步第因此可分两步完成排列数字不能是百位上的数中位由于没有重复数字的三解法,,2;A,190,,1.,0,119).(648899,1,,29291929个所求的三位数有根据分步乘法原理如图种选法有个个数字中任选的AAA.648,.0,0,0.3,22292939292939个符合条件的三位数有原理根据分类加法计数个三位数有的十位数字是个的三位数有个位数字是个的三位数有不是每一位数字都类的三位数可分成符合条件所示如图解法AAAAAA百位十位个位个19A个29A1图百位十位个位个39A百位十位个位个29A0百位十位个位个29A2图0.648898910AA,10,A0,A310903293102939是即所求的三位数的个数三位数的个数数字的个数字组成的没有重复的差就是用这它们在在百位上的排列数是其中列数为个数字的排个数字中任取这到从解法;,3,01.,,,4原理依据的是分步乘法计数数这件事的三位个数组成没有重复数字分步完成选要求根据百位数字不能是解法的解题方法就可以有不同而且思考的角度不同题分解可用适当的方法把问这类计数问题对于例;,.02原理依据的是分类加法计数完成这件事情分类置为标准是否出现以及出现的位以解法.),(0,310:3数的个数到没有重复数字的三位就得即不是三位数的个数的排列数去百位是然后从中减个不重复数字的排列数数字中选个不同先求出从是一种逆向思考方法解法.)nm(mn,,,这类特殊的计数问题的所有排列的个数个元素个不同元素中取出从地求解可以更加简便、快捷以及推导求排列数公式念引进排列的概可以看到从上述问题的解答过程例5.计算：（1）（2）（3）48A66A316A例6.解方程：232100xxAA例7.求证：11mnmnmnmAAA例8.求的个位数字100100