专题132奇偶性第2课时奇偶性的应用课件20192020学年上学期高一数学同步精品课堂人教A版必修1

第一章集合与函数概念人教A版必修一第二课时奇偶性的应用1.3.2奇偶性学习目标：1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．[合作探究·攻重难]例1(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式.用奇偶性求解析式思路探究：(1)设x0，则－x0――→当x0fx＝－x＋1求f－x――→奇函数得x0时fx的解析式――→奇函数的性质f0＝0――→分段函数fx的解析式(2)fx＋gx＝1x－1――――――→用－x代式中x得f－x＋g－x＝1－x－1――→奇偶性得fx－gx＝－1x＋1――→解方程组得fx，gx的解析式[解](1)设x0，则－x0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)＝－x－1，x0，0，x＝0，－x＋1，x0.(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝1x－1，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∴f(x)－g(x)＝1－x－1，②(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；(①－②)÷2，得g(x)＝xx2－1.母题探究：1.把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”，当“x0”改为“x≥0”，再求f(x)的解析式．[解]设x≤0，则－x≥0，则f(－x)＝x＋1.又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝x＋1.故f(x)的解析式为f(x)＝x＋1，x≤0，－x＋1，x0.[解]设x≤0，则－x≥0，则f(－x)＝x＋1.又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝x＋1.故f(x)的解析式为f(x)＝x＋1，x≤0，－x＋1，x0.2．把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝1x－1，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，[解]∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝1x－1，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，即f(x)－g(x)＝1x＋1.②联立①②得f(x)＝xx2－1，g(x)＝1x2－1.[规律方法]利用函数奇偶性求解析式的方法1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.2要利用已知区间的解析式进行代入.3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx.提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.[探究问题]1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？函数单调性和奇偶性的综合问题提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)f(b)，你能得到什么结论？提示：f(－2)f(3)，若f(a)f(b)，则|a||b|.角度一比较大小问题例2函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)f52f72B．f72f(1)f52C．f72f52f(1)D．f52f(1)f72思路探究：y＝fx＋2是偶函数―→fx的图象关于x＝2对称――――→[0，2]上递增比较大小B[∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f52＝f32，f72＝f12，又f(x)在[0,2]上单调递增，∴f12f(1)f32，即f72f(1)f52.][规律方法]比较大小的求解策略看自变量是否在同一单调区间上.①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.[跟踪训练]1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]角度二解不等式问题例3已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________．(－1,3)[∵f(2)＝0，f(x－1)0，∴f(x－1)f(2)，又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(|x－1|)f(2)，∴|x－1|2，∴－2x－12，∴－1x3，∴x∈(－1,3)．故填(－1,3)．][规律方法]解不等式的策略1解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为fx1fx2或fx1fx2的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式组，要注意函数定义域对参数的影响.2本题的关键是利用偶函数的性质：fx＝f－x＝f|x|，从而由fx－1f2转化得f|x－1|f2，再由fx在[0，＋∞上单调递减即可脱去“f”，得到|x－1|2.其优点在于避免了讨论.[跟踪训练]2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)f(2a＋1)，则a的取值范围是()A．a1B．a－2C．a1或a－2D．－1a2C[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)f(2a＋1)，所以f(3)f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3|2a＋1|，解之得a1或a－2.故选C.][当堂达标·固双基]1．（2019年武昌区期末）已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x0时，f(x)的解析式是()A．f(x)＝－x2＋2x－3B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3D．f(x)＝－x2－2x＋3[答案]B[若x0，则－x0，因为当x0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]2．（2019年重庆模拟）已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则()A．f(1)f(2)B．f(1)f(2)C．f(1)＝f(2)D．以上都有可能[答案]A[∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)f(2)，故选A.]3．（2019年古冶区模拟）定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()A．abB．abC．|a||b|D．0≤ab或ab≥0[答案]C[∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴由f(a)f(b)可得|a||b|.]4．（2019年潮州期末）偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2016，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________.[答案]2016[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2016，故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2016.]5．（2018年杭州期末）已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．[答案]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.THANKS“”