第五章-对流-扩散方程的离散格式

热流问题的数值计算NumericalSimulationsofThermal&FluidProblems第五章对流—扩散方程的离散格式主讲李炎锋2008年7月北京5.1对流项离散格式的重要性及两种离散格式非线性对流项的处理涉及到对流项的离散格式（物理过程观点：对流作用带有强烈的方向性）；动量方程的压力梯度项处理涉及到压力与速度的耦合问题。5.1.1对流项离散格式的重要性对流项离散格式是否合适将会影响：⑴数值解的准确性（假扩散误差）；⑵数值解的稳定性；⑶数值解的经济性。5.1.2构造对流项离散格式的两种方式1、Taylor展开方式对于节点上的一阶导数给出其相应的离散方式，如表5-1。例如：对一维均分网格，节点P一阶导数的中心差分为：xxxiiWEP22112、控制容积积分方式将对流项的一阶导数对控制容积P作积分，有：所谓对流项的离散格式就是如何用相邻节点上之值来获得及的插值方式。eweewdxxw由上式：如将界面上分段线性的型线代入上式，得dxxxxewwe1xxxPEWPPElinearwe22/)(2/)(3、两种定义方式之间的关系⑴对某种对流项的离散格式，都可以从两种方法来给出其相应的定义；⑵两种定义方式给出的格式的截断误差的阶数一般地说是一致的；⑶两种定义方式所逼近的量实际上有一定区别。Taylor展开法逼近的是在P点的导数值，而控制容积积分法所逼近的是在该控制容积内导数的积分平均值。5.2对流项的中心差分与迎风格式5.2.1一维对流-扩散问题模型方程的精确解一维稳态无内热源的对流-扩散问题的控制方程：若边界条件为：x=0，；x＝L，。)()(dxddxdudxd0L则方程的解为：其中Peclet数。Pe数表示对流与扩散作用的相对大小.当Pe的绝对值很大时，导热或扩散作用就忽略.1)exp(1)/exp(1)exp(1)/exp(0PeLPexuLuxLuLPe5.2.2对流项的中心差分1、定义及系数的构成用控制容积积分法时，中心差分相当于界面上取分段线性的型线。将控制方程对控制容积P作积分，对均分网格，离散方程为：])(21)([])(21)([])()(21)()(21[令，（扩导）则上式可变为：式⑴在数值计算中，若连续性方程始终得到满足，aP仍为相邻各系数的和。aE,aW包括了扩散与对流作用的影响。uFxDWWEEPPaaaeeEFDa21pEWaaa2、特性分析网格Pe数：常物性下(1)式可写为：xuP2)211()211(WEPPP5.2.3对流项的迎风格式1、两种离散方式下的迎风格式⑴Taylor展开法（如下图）以流动方向而言，P点的一阶导数永远是该方向上的向后差分，永远从上游获取构成一阶导数所必须的信息对多维问题，用此方法构造的对流项的离散格式，只有在求解区域内流速不发生逆向时，所形成的离散方程才具有守恒性。0011iiiiiiiuxuxdxd，2、控制容积积分法定义规定界面上的未知量恒取上游节点的值e界面上：w界面上：与中心差分格式的区别：迎风差分界面上的未知量恒取上游节点的值，而中心差分取的是上、下游节点的算术平均值。Eepeuu,0,0；P,0;,00,]0,[)0,max()0,max()(eEePeEePeeeFFFFFu0,]0,[)0,max()0,max(2、采用迎风格式的模型方程离散形式用迎风方式离散对流项，二阶导数项仍采用分段线性，则模型方程的离散形式可写为：WWEEPPaaa0,eeEFDa0,)(weWEPFFaaa5.2.4中心差分及一阶迎风格式的讨论1、在对流项中心差分的数值解不出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数下，采用中心差分的计算结果要比采用迎风差分的结果误差更小；2、一阶迎风格式离散方程的系数aE及aW永远大于零，因而无论在任何条件计算下都不会引起解的振荡，永远可以得出看似合理的解；3、由于一阶迎风的截差阶数低，除非相当密的网格，其计算结果的误差较大；4、一阶迎风格式的使用时间为构造性能更优良的离散格式提供了有益的启示：应当在迎风方向上获取比背风方向上更多的信息以较好地反映对流过程的物理本质；5、在软件的调试过程中，一阶迎风由于其绝对稳定的特性仍有其应用价值。5.3对流-扩散方程的混合格式及乘方格式5.3.1系数aE与aW之间的内在联系中心差分(CD):对同一界面，于是有：)211(21eeeeEPDFDa)211(21PPPweDDDwePPPDiaDiaEW)211()211()()1(迎风差分(FUD)：对同一界面，有：只要知道或中的一个，就可算出另一个。0,10,eeeeEPDFDa0,10,PPPDiaDiaEW0,10,1)()1(eEDawWDa5.3.2混合格式(hybridscheme)对一维问题而言，对流项与扩散项均为中心差分的格式在P2时会引起解的振荡。如果把一维模型方程的精确解应用于两个相邻的节点之间，发现界面上的扩散作用与P有关。P绝对值越大，扩散作用越小，扩散作用相对于对流作用越小。混合格式综合了中心差分和考虑迎风作用两方面的因素，定义式为：0,211,22221120eeeeeeeeEPPPPPPPDa5.3.3指数格式（exponentialscheme）1、对流-扩散总通量密度定义：总通量密度是指单位时间内、单位面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。dxduJ对控制方程：一维、稳态、无内热源问题的总通量为：)()(dxddxdudxdtconsJdxdJtan0，2、节点值表示的界面总通量密度计算式将分析解代入通量密度定义式得：1)exp(1)/exp(1)exp(1)/exp(0PeLPexuLuxL]1)exp([00PeFJL把式（2）用于计算界面总通量密度Je,Jw:对Je：对Jw：eELPxL,0，]1)exp([eEPPeePFJwPLWxL,0，]1)exp([wP对于控制容积P，代入对Je、Jw的表达式整理得：令：；则1)exp()exp(1)exp(]1)exp(11)exp()exp([1)exp(eeEPFa1)exp()exp()(weWEPFFaaa5.3.4乘方格式(Power-lawscheme)由于指数格式的计算量较大，Patankar提出了与指数格式接近的乘方格式：见下页表格：eeeeeeeeeeeEPPPPPPPPPPDa,0)1.01(,010,010,)1.01(100,)1.01(10,05555.3.55种三点格式系数计算式的汇总不同格式离散方程的形式相同，但系数不同。具体见下表5－1：5.4对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析5.4.1通量密度及其离散表达式由于所以)/(*xJJ])/([xxddPxdxduJ)/()/(*xxddPxJJ如图界面上的表达式为：1*iiABJ5.4.2系数A、B间关系的分析1、和差特性当时，界面上的扩散通量零，1ii1*iiPPJPAB2、对称特性对于坐标系I，C位于界面之后，而D位于界面之前，于是：对于坐标系II，D位于界面之后，而C位于界面之前，于是：由于DCPAPBJ)()(*CDPAPBJ)()(*'**JJ)]()([)]()([PBPAPAPBDC要使此式对任何，的组合都成立，只有：，即：，即：如下图：0)()(PAPB)()(PAPB0)()(PBPA)()(PBPA5.4.3系数特性的推论对5种3点格式的任何一种，若在P0时，A(P)的计算式为已知，则在的范围内，A(P)，B(P)的计算式均可得出。对于A(P)：当P0，按和差特性和对称性有：因此无论P0或P0，都有：PPAPPAPPBPA)()()()(0,)()(PPAPAPPP对于B(P)：0,)(0,)()()(PPAPPPAPPAPB5.4.4利用系数A，B得特性导出aE,aW的通用表达式对于控制体P可写出：将上两式代入通量密度守恒方程，得EePeePAPBJ)()(*)()(*0**wweeweJDJDJJ整理得(2)利用系数A，B得特性，把B用A得表达式写出，得:(3)(4))()()}()({0,)()(eeePPAPA0,)())()((5)(6)将（3）~（6）代入（2），可得标准格式的离散方程，其中各系数为：0,)()(eeePPAPB0,)()(}0,)({)(eeeeeEPPADPADa}0,)({)()(weWEPFFaaa5.4.5关于格式定义与系数特性的进一步说明1、从一维推广到多维；2、系数aE,aW的通用表达式易于编制通用程序；3、系数aW(i+1)与aE(i)间的关系：可节省系数计算的工作量。FFPADFPADiaiaeee0,)(0,)()()1(5.5关于对流项离散格式假扩散特性的讨论5.5.1假扩散（falsedifussion）的含义1、含义：由于对流-扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差的现象称为假扩散。一维纯对流方程的显式、一阶迎风的离散格式为：xut011uxutnininini若对，在（i,n）作Taylor展开，得：1nini...!22,22,1xxxxnininini!2xxxx2n,i22n,ini1ni将，带入离散方程，得其中代入上式，得1nini),(2)(222,222,22,,txOxxxuttxutnininini22222)()()(xuxuxuxutttt其中为假扩散系数。当C=1时该系数为零。采用显式、迎风格式时，从二阶截差的角度看离散方程模拟的是一个对流-扩散问题。),()]1(2[2222txOxxtuxuxut)1(2)1(2Cxuxtu