第3节-Gauss型求积公式

§3Gauss型求积公式关于数值积分公式0()()(3.1)nbkkakfxdxAfx除了用误差来分析其精确度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。为了掌握这一方法，下面先给出代数精度的概念。定义：如果求积公式nknkbanxAdxx011而对于f(x)=xn+1不精确成立，即则称积分公式（3.1）具有n阶代数精度。.,,1,0,0nixAdxxnkikkbai即对于f(x)=xi(i=0,1,…,n)精确成立，0()()(3.1)nbkkakfxdxAfx例如，对于Newton-Cotes型求积公式：dxxxxxxxfnfRnbann)())(()()!1(1][10)1(nkkkbaxfAdxxf0)()(当f(x)为不超过n次的多项式，即f(x)=1,x,x2,..,xn时均有Rn[f]=0。对于其误差式可见Newton-Cotes型求积公式至少具有n阶代数精度。进一步证明可以得出：当n为奇数时，Newton-Cotes型求积公式的代数精度为n，当n为偶数时，Newton-Cotes型求积公式的代数精度为n+1。在具有同样计算量的情况下，如果需要进一步提高数值积分的代数精度，下面介绍的Gauss型求积公式就可以实现这一目标。由前面的讨论知道，具有n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。一般地，若对随机选取的n+1个节点作插值型求积公式也仅有n次代数精度。但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公式，就可以提高数值积分的代数精度，这正是Gauss型求积公式的特点。我们从以下几个方面着手了解Gauss型求积公式：一、正交多项式二、常见的正交多项式三、Gauss型求积公式的一般理论四、几种常见的Gauss型求积公式一、正交多项式及其性质例如：]1,0[,1)(xx如果函数ρ(x)满足条件：1、权函数];,[,0)().1baxx则称ρ(x)为区间[a,b]上的权函数。;0)().2badxx3).()bkaxxdx存在，]1,1[,1)(2xxx2、正交多项式对于多项式序列,2,1,0,)(0111nAxAxAxAxgnnnnn及权函数],[),(baxx如果：20,,()()()()()0,bblmamalmxgxgxdxxgxdxlm则称多项式族{gk(x)}在[a,b]上带权ρ(x)正交，并称gn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式。正交。上带权，在1)(]11[,31,,12xxx例如：,)()(*kkkAxgxg令：则称其为首项系数为1的多项式，而且{gk*(x)}也是正交多项式族。定理2：n次正交多项式gn(x)在[a,b]内具有n个互异零点:)()()()(121111xgAAAxgxAAxgkkkkkkkkkk3.正交多项式的性质定理1：正交多项式序列具有递推关系式nnxxxxx132122()()/()()bbkkkaaxxgxdxxgxdx221()()/()()bbkkkaaxgxdxxgxdx定理3:gn(x)与gn+1(x)的零点相互隔离，即，如果gn+1(x)的n+1个零点为x1*,x2*,…,xn*,xn+1*,则有。*1**32*21*1nnnxxxxxxxx是区间[-1,1]上关于权函数ρ(x)=1的正交多项式。而且具有性质：二、常用的正交多项式,2,1,0,1,1,)1(!21)(2nxxdxdnxLnnnnn1.勒让德（Legende）多项式（1）正交性11,122,0)()(),(nmnnmdxxLxLLLnmnm1),(1)(112)()(,1)(1110kxLkkxxLkkxLxxLxLkkk（2）递推性2.Chebyshev（契比晓夫）多项式,2,1,0],1,1[,)arccoscos()(nxxnxTn是区间[-1，1]上关于权函数的正交多项式。211)(xx1211(,)()()1mnmnTTTxTxdxx（1）正交性其首项系数为2n-1,具有下面的性质:0,0,2,0coscos0nmnmnmdnm,2,1),()(2)()(,1)(1110kxTxxTxTxxTxTkkk（3）Tn(x)在[-1,1]上具有n个零点nknkxk,,2,1,212cos（2）三项递推关系这其实很容易由Tn(x)=cos(narccosx)计算出来：令0)arccoscos()(xnxTn2arccoskxn则有nkx2)12(arccosnknkxk,,2,1,2)12(cos3．Laguere（拉盖尔）多项式()(),0,0,1,2,nxnxnndLxexexndx为区间[0,+∞)上关于权函数ρ(x)=e-x的正交多项式。而且Ln(x)的首项系数为(-1)n。具有性质：200,(1).(,)()()(!),xmnmnmnLLeLxLxdxnmn,2,1),()()21()(1)(,1)().2(12110kxLkxLxkxLxxLxLkkk4.Hermite多项式,2,1,0,,)1()(22nxdxedexHnxnxnn是区间(-∞,+∞)上关于权函数的正交多项式。而且Hn(x)的首项系数为2n,具有性质：2)(xexnmnnmdxxHxHeHHnnmxnm,!2,0)()(),().1(2,2,1),(2)(2)(2)(,1)().2(1110kxkHxxHxHxxHxHkkk三、Gauss型求积公式的一般理论Newton-Cotes型求积公式的构造，利用的是等距节点badxxfI)(关于积分nknabhhkaxk,,2,1,1,)1(如何在不增加节点个数的情况下提高代数精度，我们考虑下面的带有权函数的定积分：代数精度是n-1,最多是n.得到的积分公式：1nbkkakfxdxAfxbadxxfxI)()(得到n-1次插值多项式及误差：bxxxan,,,21在积分区间[a,b]上任取n个插值节点（节点个数不增加）badxxfxI)()()(],,,,[)()()()(2111xxxxxfxfxxxxxfnnknkikinkii)())(()(21nnxxxxxxx两端积分得到：bannknkkbadxxxxxxfxxfAdxxfx)(],,,,[)()()()(2111()()()()()nbbinkaaikiknkikxxxAxdxxdxxxxxx对于带权定积分bannknkkbadxxxxxxfxxfAdxxfx)(],,,,[)()()()(211bannndxxxxxxfxfR)(],,,,[][21记：下面我们分析这个公式的代数精度。对于误差式：bankkkxfAdxxfx1)()()(bannndxxxxxxfxfR)(],,,,[][21)())(()(21nnxxxxxxxbaknknbaikinkiikdxxxxxxdxxxxxxA)()()()()(1在上式中去掉这一项，则得近似积分计算公式及误差：bannndxxxxxxfxfR)(],,,,[][21其中f[x,x1,x2,…,xn]是n阶差商。如果我们取定f(x)为次数不超过2n-1次的多项式，则由差商的性质知道:f[x,x1,x2,…,xn]是次数不超过n-1次的多项式。既然f[x,x1,x2,…,xn]是次数不超过n-1次的多项式，则可以由多项式空间中的一组基线性表示。n-1次多项式空间中的基很多，我们选取关于权函数ρ(x)正交的多项式族{gn(x)}0n-1作为基函数.这样可以得到：)(],,,,[1021xgcxxxxfknkkn带入误差式得到：bannndxxxxxxfxfR)(],,,,[][21)(],,,,[1021xgcxxxxfknkkn10)()(][nkbankkndxxxgxcfRbankdxxxgx)()(考虑和式中的每一项积分：)()()()(110xgxgxgxgnn、、、、已知是待定的（因节点待定）。是关于权函数ρ(x)正交的多项式族，而n次多项式)())(()(21nnxxxxxxx则可以得到：0)()(1)()(banknbankdxxgxgxAdxxxgx.1,,1,0nknnnAxgx)()(这时如果我们选取这样便得到积分公式的误差0)()(110nkbankkndxxgxgxcA10)()(][nkbankkndxxxgxcfR也就是这时的积分公式具有2n-1阶代数精度。及由)())(()(21nnxxxxxxxnnnAxgx)()(说明这时的积分公式bankkkxfAdxxfx1)()()(精确成立，即bankkkxfAdxxfx1)()()(可知，代数插值的节点a≤x1,x2,…,xn≤b正好是正交多项式gn(x)的零点。也就是说对于积分公式如果我们取插值节点x1,x2,…,xn为关于权函数ρ(x)正交多项式gn(x)的零点，则所得到的求积公式具有2n-1阶代数精度。bankkkxfAdxxfx1)()()(baknknbaikinkiikdxxxxxxdxxxxxxA)()()()()(1这时称上面的公式为Gauss型求积公式，并称x1,x2,…,xn为Gauss点。下面给出构造Gauss型求积公式的步骤。bankkkxfAdxxxfI1第三步：求出求积公式的系数：第一步：求出关于权函数ρ(x)正交多项式gn(x);第四步：给出Gauus型求积公式并计算积分近似值：第二步：求出gn(x)的n个零点：x1,x2,…,xn;baknknbaknknkdxxgxxxgxdxxxxxxA)()()()()()()()(对于积分badxxfxI)()(构造Gauss型求积公式的步骤如下：四几种常用Gauss型求积公式1、Gauss-Legendre(勒让德)求积公式构造Gauss型求积公式除需要求出正交多项式外，还需求出正交多项式的零点和求积系数，当n≥3时，这些工作均很困难，下面给出几种常用的Gauss型求积公式.如果[a,b]=[-1，1],ρ(x)=1,则有关于定积分badxxfxI)()(这时，称Gauss型求积公式为Gauss-Legendre求积公式。计算公式为：11)(dxxfI)()(111knkkxfAdxxfGauss点xk为Legendre多项式的零点。nnnnnxdxdnxL)1(!21)(211')()()(dxxxxxAknknk其实，Gauss-Legendre求积公式中的各阶Gauss点及求积系数已经算出，使用时只需要查表即可，看下表。Gauss-Legendre求积公式的系数nkdxxLxxxLknkn,,2,1,)()()(11'nxAnxA1026±0.9324695142±0.6612093865+1.23861918160.17132