数学必修三《用样本估计总体》

用样本估计总体我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.那么标准a定为多少比较合理呢?提出问题3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：【思考】上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？【思考】上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？【思考】样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？0.2～4.3(4.3－0.2)÷0.5=8.2【思考】以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？[0，0.5)，[0.5，1)，[1，1.5)，…，[4，4.5].【思考】如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？分组频数频率[0，0.5)4[0.5，1)8[1，1.5)15[1.5，2)22[2，2.5)25[2.5，3)14[3，3.5)6[3.5，4)4[4，4.5]2合计1000.040.080.150.220.250.140.060.040.021.00【思考】上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？用样本的频率分布估计总体分布.思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3.频率分布表【思考】一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？第一步：求极差;第二步：决定组距与组数;第三步：确定分点，将数据分组(区间通常为左闭右开，最后为闭区间);第四步：列频率分布表.【思考】为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O小长方形的面积表示什么？所有小长方形的面积和＝？小长方形的面积表示该组的频率．所有小长方形的面积和＝1．频率分布直方图中小长方形的高？频率/组距频率分布直方图【思考】样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？第一步：画平面直角坐标系.第二步：在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.第三步:以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.例1：有一个容量为50的样本数据的分组及各组的频数如下：[12.5,15.5)3[24.5,27.5)10[15.5,18.5)8[27.5,30.5)5[18.5,21.5)9[30.5,33.5)4[21.5,24.5)11⑴列出样本的频率分布表和画出频率分布直方图；⑵根据样本的频率分布估计，小于30.5的数据约占多少？众数、中位数、平均数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．平均数:一组数据的算术平均数,即x=)xxx(n1n21例2:在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示，求这些运动员成绩众数，中位数与平均数？成绩(单位：米)1．501．601．651．701．751．801．851．90人数23234111众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。2、在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图中蓝色实线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t.3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.如黄色实线频率组距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)三种数字特征的优缺点1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。3、平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。湖南省长沙市一中卫星远程学校极差、方差、标准差极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差.方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即,1222212xxxxxxnsn湖南省长沙市一中卫星远程学校例4：从甲、乙两人手工制作的圆形产品中，各自随机抽取6件，测得其直径（单位：cm）如下：甲：9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20乙：8.90,9.60,9.50,8.50,8.60,8.90由以上数据估计两人的技术稳定性，结论是（）A.甲优于乙B.乙优于甲C.两人没有区别D.无法判断【说明】1、甲的平均数是（9.00+9.20+9.00+8.50+9.10+9.20）/6=9.00乙的平均数是（8.90+9.60+9.50+8.50+8.60+8.90）/6=9.002.甲的方差是（0+0.04+……+0.04）/6=0.057乙的方差是（0.01+0.36+……+0.01）/6=0.173因为甲的方差乙的方差答案：A