导数计算公式

导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝1x；(5)y＝f(x)＝x.问题：上述函数的导数是什么？提示：（1）∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝c－cΔx＝0，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝0.2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)1x′＝－1x2，(5)(x)′＝12x.函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)(x)′＝(x12)′＝12x112－＝12x，∴(xα)′＝αxα－1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x二、导数运算法则已知f(x)＝x，g(x)＝1x.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？问题2：试求Q(x)＝x＋1x，H(x)＝x－1x的导数．提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－x＋1x＝Δx＋－Δxxx＋Δx，∴ΔyΔx＝1－1xx＋Δx，∴Q′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01－1xx＋Δx＝1－1x2.同理H′(x)＝1＋1x2.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)3.fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)题型一利用导数公式直接求导[例1]求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)xy21log；(4)y＝4x3；(5)12cos2sin2xxy.[解](1)y′＝(10x)′＝10xln10；(2)y′＝(lgx)′＝1xln10；(3)y′＝1xln12＝－1xln2；(4)y′＝(4x3)′＝344x；(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.练习求下列函数的导数：(1)y＝1ex；(2)y＝110x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg3x；(5)y＝2cos2x2－1.解：(1)y′＝1ex′＝1exln1e＝－1ex＝－e－x；(2)y′＝110x′＝110xln110＝－ln1010x＝－10－xln10；(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0；(4)∵y＝3lg3x＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝1xln10；(5)∵y＝2cos2x2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.题型二利用导数的运算法则求函数的导数[例2]求下列函数的导数：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sinx2cosx2；(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝ex＋1ex－1.[解](1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－12sinx，∴y′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(4)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.练习求下列函数的导数：(1)y＝cosxx；(2)y＝xsinx＋x；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x；(4)y＝lgx－1x2.解：(1)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.(2)y′＝(xsinx)′＋(x)′＝sinx＋xcosx＋12x.(3)∵y＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－41－x′1－x2＝41－x2.(4)y′＝lgx－1x2′＝(lgx)′－1x2′＝1xln10＋2x3.题型三导数几何意义的应用[例3](1)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．[解析](1)y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．(1)5x＋y＋2＝0(2)(2,1)练习若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：11.切线方程的求法[典例]已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解]由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y－1＝(3a－3)(x－1)，即3(a－1)x－y＋4－3a＝0.一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．解：所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.二、已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝3x2－2，所以f′(x0)＝3x20－2，且y0＝f(x0)＝x30－2x0.所以切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．因为切线过点(1，－1)，故－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)·(1－x0)即2x30－3x20＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－12，故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)＝x3－3x上，设切点坐标为M(x0，y0)．则f′(x0)＝3x20－3，故切线方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．又点A(0,16)在切线上，所以16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)，化简得x30＝－8，解得x0＝－2，即切点为M(－2，－2)，故切线方程为9x－y＋16＝0.课后练习1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②sinπ3′＝cosπ3；③若y＝1x2，则y′＝－1x；④－1x′＝12xx.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sinπ3＝32，而32′＝0，所以②错误；1x2′＝0－x2′x4＝－2xx4＝－2x－3，所以③错误；－1x′＝－0－x12′x＝12x12－x＝12x32－＝12xx，所以④正确．答案：B2．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.答案：14．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析：y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.答案：－65．求下列函数的导数：(1)y＝xx2＋1x＋1x3；(2)y＝1＋cosxx2；(3)y＝(4x－x)(ex＋1)．解：(1)∵y＝xx2＋1x＋1x3＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)y′＝1＋cosx′·x2－1＋cosxx2′x4＝－xsinx－2cosx－2x3.(3)法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝ex4xln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln4－1)(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.