随机前沿分析(穆瑜秀11.27)

随机前沿分析导师：樊相宇汇报人：穆瑜秀日期：2015.11.27引言Frontier4.1CONTENTS生产前沿分析随机前沿分析SFA与DEA比较引言目前，很多学者开展了关于“效率”在各领域的实证研究。主要研究不同领域的规模效益、技术效率、纯技术效率、经济效率等。在经济学中，技术效率是指在既定的投入下产出可增加的能力或在既定的产出下投入可减少的能力。常用度量技术效率的方法是生产前沿分析方法。生产前沿分析生产前沿指在一定的技术水平下，各种比例投入所对应的最大产出集合。而生产前沿通常用生产函数表示。前沿生产函数反映了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下,企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效率。生产前沿分析前沿面对既定的投入因素进行最佳组合,计算所能达到的最优产出,类似于经济学中所说的“帕累托最优”。前沿面是一个理想的状态,现实中企业很难达到这一状态。前沿分析方法是否已知生产函数的具体形式，可分为：参数方法非参数方法生产前沿分析参数方法非参数方法内容事先设定前沿生产函数不必事先设定前沿函数根据投入产出观察值，估计函数中的参数不必对参数进行估计考虑随机误差对决策单元效率的影响未考虑随机因素对生产率和效率的影响分析方法随机前沿分析(SFA)、厚边界分析(TFA)和自由分布(DFA)数据包络分析（DEA）和自由处置法(FDH)参数方法与非参数方法对比随机前沿分析（SFA）在参数型前沿生产函数的研究中,围绕误差项的确立,又分为随机性和确定性两种方法。确定性前沿生产函数随机前沿生产函数（SFA）是否考虑随机因素影响不考虑考虑误差项把影响最优产出和平均产出的全部误差归入单侧的一个误差项，称为生产非效率。随机扰动项ε应由v和u组成；v是随机误差项/噪声(不可控)，计算系统非效率；u是技术损失误差项(可控），计算技术非效率。随机前沿分析（SFA）确定性前沿生产函数模型：其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和1之间，反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计其参数。注：不考虑随机因素的影响,直接采用线性规划方法计算前沿面。Y()exp()fXuexp:以e为底的指数函数随机前沿生产函数的发展20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯（P·Douglas）与数学家柯布（C·Cobb）合作提出了生产函数理论；1957年，美国经济学家罗伯特·索洛（R·Solow）提出全要素生产率（TFP）的增长率；1977年，Aigner，Lovell，Schmidt和Meeusen，VandenBroeck分别独立提出了随机前沿生产函数，允许技术无效率的存在；Schmidt（1980，1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer（1990）、Kalirajan（1993）、Batese和Coelli（1988，1992，1995）等利用随机前沿生产函数法对技术效率对TFP和产出的影响做了大量的实证研究。随机前沿生产函数模型随机前沿生产函数模型：在确定性生产函数的基础上提出了具有复合扰动项的随机前沿模型。Aigner，Lovell和Schmidt(1977)以及Meeusen和Broeck(1977)都分别提出了如下形式的随机前沿面生产函数：式中，代表第i家公司的产出；是包含投入对数的K*1向量；β是待估参数的列向量；是与技术无效率相关的非负随机变量；为观测误差及其他随机因素。'lniiiiqxvuixiuiqiv随机前沿生产函数模型上式中，产出值的上界是随机变量。随机误差可以是正值也可以是负值，因此随机前沿面的产出对于前沿面模型的确定部分是有偏差的。为了方便说明，首先要限定只有唯一的投入获得产出。在这个前提下的科布·道格拉斯随机前沿生产函数（C-D函数）如下：或或'exp()iixviv'exp()ixiqix01lnlniiiiqxvu01exp(ln)iiiiqxvu01exp(ln)exp()exp()iiiiqxvu确定部分噪声无效率随机前沿生产函数模型下图1表示了两个公司A和B的投入和产出，同时也图示了随机前沿生产函数模型的确定成分，由此来反映其规模报酬递减的特性。横轴表示投入，纵轴表示产出值。公司A在投入水平下得到产出。而公司B在投入水平下得到产出。如果没有技术无效率效应（例如如果和都等于0），则A和B两个公司的前沿生产函数产出分别为：AxAqBxBqAuBu)lnexp(10*AAAvxq)lnexp(10*BBBvxq随机前沿生产函数模型图1随机生产前沿面噪声影响无效率影响噪声影响无效率影响0YX确定性前沿面01exp(ln)BBBBqxvuXAXB01exp(ln)AAAAqxvu*01exp(ln)BBBqxv*01exp(ln)AAAqxv01exp(ln)iiqx图1随机生产前沿面噪声影响无效率影响噪声影响无效率影响0YX确定性前沿面01exp(ln)BBBBqxvuXAXB01exp(ln)AAAAqxvu*01exp(ln)BBBqxv*01exp(ln)AAAqxv01exp(ln)iiqx图1随机生产前沿面噪声影响无效率影响噪声影响无效率影响0YX确定性前沿面01exp(ln)BBBBqxvuXAXB01exp(ln)AAAAqxvu*01exp(ln)BBBqxv*01exp(ln)AAAqxv01exp(ln)iiqx噪声影响噪声影响无效率影响0Y确定性前沿面XAXBX无效率影响图1随机生产前沿面这个前沿面模型的特点可以推广到公司具有多个投入的情形。)lnexp(10*AAAvxq)lnexp(10*BBBvxq)lnexp(10BBBBvxq)lnexp(10AAAAvxq)lnexp(10iixq随机前沿生产函数模型技术效率?观测产出与相应的随机前沿面产出的比值大于等于0，可以看出技术效率取值为0~1.从上式可以明显的看出，技术效率预测的第一步是估计随机前沿生产函数的参数。'''exp()exp()exp()exp()iiiiiiiiiiqxvuTEuxvxviu随机前沿生产函数选择目前,在SFA中生产函数通常选择为柯布—道格拉斯生产函数（C—D函数）或超越对数生产函数（Translog函数）。当仅考虑资本（K）和劳动（L）两种投入，易知C—D函数取自然对数后可表示成如下线性形式：Translog函数是对C—D函数的推广，其形式如下：Translog函数本质是生产函数f(lnK,lnL)在(0,0)点的近似二阶泰勒展开，当时，就退化为C—D函数。vLKflnlnln210vLKLKLKflnln)(ln)(lnlnlnln52423210为待估计参数。和其中，543210,,,,0543随机前沿生产函数选择C—D函数优点：形式简洁，参数有直接的经济学含义（β1和β2表示资本和劳动的产出弹性）；Translog函数优点：考虑了资本和劳动相互作用对于产出的影响，克服了C—D函数替代弹性固定为1的缺点。如何选择使用哪种生产函数：首先选择Translog函数，在参数估计后做β3=β4=β5=0是否为0的似然比检验（LR检验）。若不能拒绝β3=β4=β5=0的原假设，则选择C—D函数；反之则选择Translog函数。随机前沿分析参数估计估计参数通常假设每个与互相独立分布，并且这两种误差与中的解释变量是不相关的。基于这些假设，可以使用最大似然法（ML）或者修正的普通最小二乘法（COLS）估计参数和随机变量，进而得到技术效率，由于最大似然估计量具有令人满意的大样本特征（例如渐进性），它通常要优于其他估计（如COLS）。iuivixiTE随机前沿分析参数估计变差率（参数γ）判断是否适合使用SFA模型最关键的一个参数是变差率γγ∈（0,1）γ表示的是无效影响因素对个体效率差异的解释程度。222vuuγ=00＜γ＜1γ=1误差来源随机因素随机因素和技术非效率生产技术的非效率使用模型最小二乘估计法（OLS）随机前沿分析（SFA)确定性前沿分析对γ做是否为0的极大似然比检验(LR检验)是非常必要的,它的检验统计量LR渐进服从于混合x2分布。随机前沿分析参数估计正态—半正态模型的ML估计Aigner、Lovell和Schmidt(1977)基于以下假设得到了最大似然估计：（1）（2）式1表明是独立同分布的正态随机变量，服从期望为0,方差为。式2表明是独立同分布的半正态随机变量，服从期望为0，方差为。2(0,)ivviidN2(0,)iuuiidNiv2(0,)ivviidNiu2(0,)iuuiidN随机前沿分析参数估计其中令且。如果，则不会有技术无效率效应，并且所有与前沿面的偏差都是由噪声造成的。利用这种参数定义法，对数似然函数为：式中，是复合误差；是标准正态分布变量在x评价的累积分布函数。最后对似然函数求最大值。具体计算过程参见舒伯利·C·昆伯卡《随机边界分析》P54-57。222vu222/0uv0221121lnlnlnln()22IIiiiiILI'lniiiiivuqx()x随机前沿分析参数估计其他模型利用以下形式来替代式（2）中的半正态假设：（截断的正态分布）（1980）（期望为λ的指数分布）（1990）（期望为λ，自由度为m的伽马分布）这些模型同样需要逐步最优化来求最大值。注：当v服从期望为0的正态分布,μ服从半正态分布或截断正态分布或指数分布时,μ的条件分布μ|ε都是服从截断正态分布。2~(,)iuuiidN~(,0)iuiidG~(,)iuiidGm随机前沿分析假设检验在建立模型过程中，要对模型参数以及模型的各种假定条件作检验和判断。常用的检验方法主要有：t检验、F检验、Wald检验、似然比（LR）检验、拉格朗日乘数（LM）检验等。t检验（双尾）:（SFA常用）如果误差服从正态分布，或者当样本容量很大时，能够使用t检测来对单一的系数进行假设检验。随机前沿分析假设检验LR检验：服从自由度为n、显著性概率为5%混合卡方分布对变差率γ的零假设检验可通过对单边似然比检验统计量LR的显著性检验实现。设θ是待估计的前沿生产函数的参数向量,变差率γ=0可视为对这些参数施加的约束条件。似然比：单边似然比检验统计量LR的表达式为：001101()2ln2ln2ln()2ln()2ln()ln()()LLRLLLLL01()()LL随机前沿分析假设检验θ0表示γ=0约束条件下θ的最大似然估计；θ1表示无约束条件下θ的最大似然估计；L(θ0)和L(θ1)在这两个估计处的似然函数值；n为约束的个数,等于无假设约束条件的备择模型(有非效率项的生产函数模型)与有假设约束条件的零假设模型(无非效率项的生产函数模型)之间待估参数的个数之差。LR大于混合卡方分布检验标准值,则证明变差率γ的零假设被拒绝,同样意味着非效率项u是客观存在的。DEASFA是否为参数方法非参数方法参数方法是否考虑随机影响否是关于公司效率假设存在无效率存在无效率可计算哪些方面技术效率、规模效率、配置效率技术效率、规模效率、配置效率、技术进步、TFP的变化所需要变量投入产出的数量投入产出的数量所需要数据截面数据面板数据截面数据面板数据随机前沿分析（SFA)与数据包络分析（DEA）的比较随机前沿分析（SFA)与数据包络分析（DEA）的比较SF