微分形式的外微分

§4微分形式的外微分第十四章曲线、曲面积分教学目的与要求：掌握外微分的形式和应用．教学重点，难点：重点：高斯公式和斯托克斯公式的统一形式难点：外微分定义一、外微分设nUR⊂为区域，U上的可微函数12(,,,)nfxxx的全微分为1niiifdfdxx=∂=∂∑这可理解为，一个0-形式做了微分运算后成为了1-形式。一、外微分现将微分运算d推广到kΛ上去。对kΛ中的任意一个k-形式121212,,,1(),kkkiiiiiiiilngxdxdxdxω≤≤=ΛΛΛ∑121212,,,1(()),kkkiiiiiiiilnddgxdxdxdxω≤≤=ΛΛΛ∑定义121212,,,11,kkkniiiiiiiilniigdxdxdxx≤≤=∂=ΛΛΛ∂∑∑一、外微分同时，对空间01nΛ=Λ+Λ++Λ上的任意一个元素01,,iniωωωωω=+++∈Λ定义01.nddddωωωω=+++这样一来，微分运算:dΛ→Λ就是线性的，即(),,,,dddαωβµαωβηωηαβ+=+∈Λ为常数。这样的微分运算d称为外微分。一、外微分例1设(,)(,)PxydxQxydyω=+为2R上的1-形式，()()()()()PPQQddPdxdQdydxdydxdxdyxyxyPQPQdydxdxdydxdyyxyxω∂∂∂∂=Λ+Λ=+Λ++∂∂∂∂∂∂∂∂=Λ+Λ=−Λ∂∂∂∂一、外微分例2设(,,)(,,)(,,)PxyzdxQxyzdyRxyzdzω=++为3R上的1-形式，()()()()()()()()()ddPdxdQdydRdzPPPQQQdxdydzdxdxdydzdyxyzxyzRRRdxdydzdzxyzRQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxyω=Λ+Λ+Λ∂∂∂∂∂∂=++Λ+++Λ∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++Λ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−Λ+−Λ+−Λ∂∂∂∂∂∂一、外微分例3设(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdyω=Λ+Λ+Λ为3R上的2-形式，()()()ddPdydzdQdzdxdRdxdyω=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ()()()PPPQQQdxdydzdydzdxdydzdzxyzxyzRRRdxdydzdxdyxyz∂∂∂∂∂∂=++ΛΛ+++ΛΛ∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++ΛΛ∂∂∂一、外微分性质1设ω为k-形式，η为l-形式，则()(1).kdddωηωηωηΛ=Λ+−Λ证由于d的线性，只要证明1212(),(),kliiijjjaxdxdxdxbxdxdxdxωω=ΛΛΛ=ΛΛΛ的情形即可。这时1212()(()())kliiijjjddaxbxdxdxdxdxdxdxωηΛ=ΛΛΛΛΛΛΛ1212(()())kliiijjjdaxbxdxdxdxdxdxdx=ΛΛΛΛΛΛΛΛ一、外微分性质1设ω为k-形式，η为l-形式，则()(1).kdddωηωηωηΛ=Λ+−Λ12121klniiiiijjjiiiabbdxadxdxdxdxdxdxdxxx=∂∂=+ΛΛΛΛΛΛΛΛ∂∂∑12121klniiiijjjiiabdxdxdxdxdxdxdxx=∂=ΛΛΛΛΛΛΛΛ∂∑12121(1)())klnkiiiijjjiibadxdxdxdxdxdxdxx=∂+−ΛΛΛΛΛΛΛΛ∂∑(1).kddωηωη=Λ+−Λ一、外微分例4设0f∈Λ为0-形式，证明20.df=证明设,ω∈Λ定义2()dddωω=由于f既有二阶连续偏导数，因此22ijjiffxxxx∂∂=∂∂∂∂。所以22111()nnnijiiijijiffdfddfddxdxdxxxx===∂∂===Λ∂∂∂∑∑∑220,ijijijjiffdxdxxxxx∂∂=−Λ=∂∂∂∂∑一、外微分性质2对任意,ω∈Λ有20.dω=证由于d的线性性，只要证明12()kiiiaxdxdxdxω=ΛΛΛ的情形即可。这时12(())kiiiddaxdxdxdxω=ΛΛΛ，因此由性质1和例4的结果121222()()()(kkiiiiiiddddadxdxdxdaddxdxdxωω==ΛΛΛΛ−ΛΛΛΛ120()00.kiiidxdxdxda=ΛΛΛΛ−Λ=二、外微分的应用Green公式.DDDDQPpdxQdydxdydxyωω∂∂∂∂+=−⇒=∂∂∫∫∫∫∫首先看Green公式DDQPpdxQdydxdyxy∂∂∂+=−∂∂∫∫∫其中D∂取D的诱导定向。如果把dxdyΛ看成是正面积元素dxdy的话，上式可以表为DDQPpdxQdydxdyxy∂∂∂+=−Λ∂∂∫∫∫，由例1得到，对于1-形式(,)(,)PxydxQxydyω=+成立.DDdωω∂=∫∫二、外微分的应用Stokes公式.pdxQdyRdzRQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxydωω∂ΣΣ∂ΣΣ++∂∂∂∂∂∂=−Λ+−Λ+−Λ∂∂∂∂∂∂⇒=∫∫∫∫∫再看Stokes公式RQPRQPpdxQdyRdzdydzdzdxdxdyyzzxxy∂ΣΣ∂∂∂∂∂∂++=−Λ+−Λ+−Λ∂∂∂∂∂∂∫∫∫注意等式左边和右边分别是1-形式和2-形式在定向曲线和曲面上的积分，因此由例2可知，对于1-形式pdxQdyRdzω=++，上式就是dωω∂ΣΣ=∫∫。二、外微分的应用Gauss公式.DPQRPdydzQdzdxRdxdydxdydzyxyzdωω∂Ω∂ΩΩ∂∂∂++=++∂∂∂⇒=∫∫∫∫∫∫∫同样地，对于Gauss公式DPQRPdydzQdzdxRdxdydxdydzxyz∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫如果我们将有向体积元素dxdydzΛΛ看成是正体积元素dxdydz的话，他就可以表示为DPQRPdydzQdzdxRdxdydxdydzxyz∂Ω∂∂∂Λ+Λ+Λ=++ΛΛ∂∂∂∫∫∫∫∫对于2-形式PdydzQdzdxRdxdyω=Λ+Λ+Λ，上式就是.dωω∂ΩΩ=∫∫二、外微分的应用Newton-Leibniz公式()()|.bbaaDDdfxfxfdf∂=⇒=∫∫∫最后看Newton-Leibniz公式()()|,bbaadfxfx=∫如果将上式右端视为0-形式()fx在区间[,]Dab=的诱导定向边界{,}Dab∂=上的积分，那么上式就可以表为.DDfdf∂=∫∫这样，Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式和Stokes公式就可以统一地写成如下形式：.MMdωω∂=∫∫这个式子统称为Stokes公式。这说明了，高次的微分形式dω在给定区域上的积分等于低一次的微分形式ω在低一维的区域边界上的积分。Stokes公式是单变量情形的Newton-Leibniz公式在多变量情形的推广，是数学分析中最精彩的结论之一