高考前必做的“不等式恒成立导数题中的参数求法”都在这里

1高考前必做的“不等式恒成立导数题中的参数求法”都在这里已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离lnx法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法.一、直接求导法题目：当(0,1)x时，1()11axxfxex恒成立，求a的取值范围.分析：注意()xefx型函数不分离最好,这里()fx是有理函数,它的导数为[()]()xxefxefx()[()()]xxefxefxfx，这里()()fxfx是有理函数，容易讨论其性质.解：21121()()()()11(1)1axaxaxaxxxxfxeeeeaxxxx22(1)[](1)1axaxexx222222(1)2[](1)(1)(1)axaxaxaxaeexxx，由22axa可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂，于是可以考虑分离参数a，即222222222(1)2(1)()(1)()11axaaxxaxaxx，注意到当(0,1)x时，22(2,)1x，所以当2a时，()0fx，()fx是增函数，所以()(0)1fxf，当2a时，222()0(1)axaxafxex可解得20axa，即当20axa时，()fx是减函数，所以()(0)1fxf，不合题意.综上，a的取值范围(,2].2二、二次求导法题目：当0x时，2()10xfxexax恒成立，求a的取值范围.分析：2()xfxkeaxbxc型函数一般用到二次求导法.解:()12xfxeax，()2xfxea，因为0x，所以1xe，当21a即12a时，()0fx，()fx是增函数，所以()(0)0fxf，所以()fx是增函数，所以()(0)0fxf；当21a即12a时，则当0ln(2)xa时，()0fx，()fx是减函数，所以()(0)0fxf，所以()fx是减函数，所以()(0)0fxf.所以a的取值范围1(,]2.三、特值压缩法题目：当2x时，2()2(1)420xfxkexxx恒成立，求k的取值范围.分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.解：由2202(2)2(21)(2)4(2)20(0)2(01)04020fkefke得2220220kek得21ke，()2[(1)]242(2)(1)xxxfxkexexxke，当21ke时，由()2(2)(1)0xfxxke得211[,1]ln[2,0]xeexkk，当2ke时，显然当2x时，()0fx，()fx为增函数，从而()(2)0fxf，当21ke时，则1ln(2,0]k，所以当1(2,ln)xk时，()0fx，()fx为减函数，3当1(ln,)xk时，()0fx，()fx为增函数，所以()fx的最小值为1ln21111(ln)2(ln1)(ln)4(ln)2kfkekkkk22111112(ln1)(ln)4(ln)2(ln)2lnkkkkk2211(ln)2ln(ln)2ln(2ln)(ln)0kkkkkk，所以求k的取值范围是21ke.四、分离lnx法题目：当0x且1x时，ln1ln11xxkxxxx恒成立，求k的取值范围.分析：把lnx分离出来可以使导数非常简单.解：2lnln111121()()lnln11111xxkkkxxxxxxxxxxx2221111[2ln(1)][2ln(1)()]11kxxxkxxxxx（这一步的目的是提取因式211x，分离出lnx，由于211x的符号不确定，所以分类讨论如下）令设1()2ln(1)()gxxkxx，于是原题等价于()0,(1,)()0,(0,1)gxxgxx221()(1)(1)gxkxx，若是通分，分子是一个关于x的二次函数，讨论比较复杂，不如再次提取21(1)x，分离参数k，这样会转化为对号函数，可谓一举两得：于是22221121()(1)(1)(1)[(1)]11gxkkxxxxx221212(1)[(1)](1)(1)11kkxxxxxx令2()1hxxx，由对号函数的单调性，()hx在(1,)单调递减，当1x时，12xx，从而()(0,1)hx，所以当(1)1k，4即0k时，()0gx恒成立，从而()gx为增函数，所以()(1)0gxg恒成立；当0k时，(1)1k，所以存在01x，使得当0(1,)xx时，()0gx，从而()gx为减函数，所以()(1)0gxg，不合题意.同理可讨论当01x时，仍然是0k时，()0gx恒成立，从而()gx为增函数，所以()(1)0gxg恒成立；当0k时，(1)1k，所以存在0(0,1)x，使得当0(,1)xx时，()0gx，从而()gx为减函数，所以()(1)0gxg，不合题意.综上，0k五、重构函数法题目：(1)0xeaxb恒成立,求(1)ab的最大值.分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型.解:令()(1)xfxeaxb,则()(1)xfxea（1）当10a时,()0fx,()fx在R上单调递增，当x时，()fx，不合题意.（2）当10a时，则当ln(1)xa时，()0fx，()fx是减函数，当ln(1)xa时，()0fx，()fx是增函数，所以当ln(1)xa时，min()(ln(1))1(1)ln(1)0fxfaaaab，所以1(1)ln(1)baaa，所以22(1)(1)(1)ln(1)abaaa，其中10a，令22()ln(0)gxxxxx，则()2(2ln)(12ln)gxxxxxxx，当0xe时，()0gx，()gx是增函数，当xe时，()0gx，()gx是减函数，所以当xe时，max1()()22egxgeee，所以(1)ab的最大值是2e.六、解不等式法题目：设函数2()mxfxexmx．5（1）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxe，求m的取值范围．分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式．解：（1）()2mxfxmexm，2()2mxfxme，因为2()20mxfxme，所以()2mxfxmexm在R上是增函数，注意到(0)0f，所以当0x时，()(0)0fxf，当0x时，()(0)0fxf，所以()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增.（2）由（1）可知，()fx在[1,1]上的最小值为(0)1f，()fx的最大值是(1)1mfem和(1)1mfem，所以12|()()|fxfx的最大值为mem或mem，所以只要1meem或1meem，令()mgmem，则()1mgme，当0m时，()0gm，()gm是减函数，当0m时，()0gm，()gm是增函数，而(1)1ge，1(1)1ge，且(1)(1)gg，所以存在01m，使得0()(1)gmg，所以由1meem即()(1)gmg可得01mm，其中01m①而1meem即()(1)gmg，所以01mm，即01mm，其中01m，②由①、②得11m.七、设而不求法已知函数()2xxfxeex，（1）设(2)4()gxfxbfx，当0x时，()0gx，求b的最大值，（2）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）分析：设而不求那些不容易求出的极值点.解：（1）22()44(2)xxxxgxeexbeex，6222(2)4(2)xxxxgxeebee，令xxeet，则2222xxeet，所以2()2(4)4(2)(2)(22)(2)[(22)]gxtbtttbttb，注意到22(0)xxxxteeeex，所以当222b即2b时，()0gx，()gx为增函数，所以()(0)0gxg，当2b时，存在00x，当0(0,)xx时，()0gx，()gx为减函数，所以()(0)0gxg，不合题意，所以b的最大值2.（2）考虑2ln22ln2ln2ln2(ln2)4ln24(2ln2)geebee23122ln24(2ln2)22(42)ln2222bbb，由（1）知道，当2b时，3(ln2)222(422)ln202g，所以421.541.41421.5ln20.692866，那么，下一步如何再取b的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的0xx这个分界点满足的条件，可以考虑ln2x满足(22)0xxeeb，考虑到满足等号成立的b的值，ln2ln2(22)0eeb，解得3214b，则由（1）知，当3214b时，32323(ln2)22(1)[4(1)2]ln20244g，所以182181.4143ln20.69342828，所以0.6928ln20.6934，所以ln20.693.