等比数列复习

必考部分第五章数列第三节等比数列考纲点击1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．2．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系.明考向理基础悟题型课时作业研知识梳理1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从起，每一项与它的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母(q≠0)表示．第2项前一项同一个公比q(2)等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.(3)等比中项如果三个数a、G、b组成，则G叫做a和b的等比中项，那么Ga＝bG，即G2＝.a1qn－1等比数列ab[思考探究]b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分条件，∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.(4)等比数列的前n项和公式Sn＝＝q＝1q≠1na1a11－qn1－qa1－anq1－q2．等比数列的性质已知等比数列{an}的前n项和为Sn.(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}({bn}也是等比数列)，{a2n}，{1an}等也是等比数列．(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)若m＋n＝p＋q，则，特别地，若m＋n＝2p，则.(4)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是数列(此时{an}的公比q≠－1)．(6)当n是偶数时，S偶＝S奇·q；当n是奇数时，S奇＝a1＋S偶·q.am·an＝ap·aqam·an＝a2p等比1．在等比数列{an}中，a2012＝8a2009，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8基础自测解析：∵a2012a2009＝q3＝8，∴q＝2.答案：A2．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()A．63B．64C．127D．128解析：由a1＝1，a5＝16，得q4＝a5a1＝16，q＝2，S7＝a11－q71－q＝127.答案：C3．在等比数列{an}中a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－1解析：要{an}是等比数列，{an＋1}也是等比数列，则只有{an}为常数列，故Sn＝na1＝2n.答案：C4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S4＝30，则S6＝__________.解析：对等比数列{an}有S2、S4－S2、S6－S4成等比数列，∵S2＝6，S4－S2＝30－6＝24，∴S6－S4＝2426＝96，S6＝S4＋96＝126.答案：1265．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________.解析：法一：∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.由a11－q61－q÷a11－q31－q＝12，得q3＝－12，∴S9S3＝1－q91－q3＝34.法二：因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝12S3代入得S9S3＝34.答案：34要点点拨1．常数列与等差数列、等比数列的关系常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，只有当常数列各项不为零时，才是等比数列．2．等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．3．等比数列的单调性当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a10，q1或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．[例1](1)(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7热点题型一等比数列的基本运算(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－11[解析](1)设数列{an}的公比为q，由a4＋a7＝2，a4·a7＝a5·a6＝－8，得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，所以a1＝－8，q3＝－12或a1＝1，q3＝－2.所以a1＝－8，a10＝1或a1＝1，a10＝－8.所以a1＋a10＝－7.(2)设公比为q，则a5＝a2·q3，根据题意，可得8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q3＝－8，解得q＝－2.S5S2＝a11－q51－qa11－q21－q＝1－q51－q2＝1－－251－－22＝33－3＝－11.[答案](1)D(2)D[规律总结]等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．变式训练1(1)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6(2)正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝72＋6，S7－S2＝142＋12，则公比q等于()A.2B．2C．22D．4[解析](1)由题意，得3S3＝a4－2，①3S2＝a3－2，②由①－②，得3a3＝a4－a3,4a3＝a4，q＝a4a3＝4.(2)显然公比q≠1.已知条件即S7－S2S5＝2，根据等比数列的求和公式，得q2－q71－q5＝2，即q2＝2，由于{an}是正项等比数列，故q＝2.[答案](1)B(2)A[例2]已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列．热点题型二等比数列的判定与证明[思路点拨](1)只要证明其中前三项不满足等比数列的必要条件a22＝a1a3即可；(2)根据等比数列的定义进行证明．[证明](1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即(23λ－3)2＝λ(49λ－4)⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以，对于任意实数λ，数列{an}不是等比数列．(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1(23an－2n＋14)＝－23(－1)n·(an－3n＋21)＝－23bn.又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0，所以bn＋1bn＝－23(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．[规律总结]本题第(1)问证明一个数列不是等比数列，只要证明这个数列中有连续的三项不是等比数列就否定了这个数列是等比数列；当证明一个数列是等比数列时，必需对任意的n值证明这个数列符合等比数列的定义．变式训练2已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.[解](1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)由(1)得an＋1＝6·2n－1，所以an＝6·2n－1－1，于是Sn＝6·1－2n1－2－n＝6·2n－n－6.[例3](1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9＝10，则a4·a5·a6＝()A．52B．7C．6D．42热点题型三等比数列的性质应用(2)(2013·海淀模拟)已知等比数列{an}满足an0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[思路点拨](1)利用a1·a2·a3，a4·a5·a6，a7·a8·a9成等比数列求解．(2)根据a5·a2n－5＝a2n先求an，再代入求解．[解析](1)∵a1·a2·a3，a4·a5·a6，a7·a8·a9成等比数列，∴(a4·a5·a6)2＝(a1·a2·a3)(a7·a8·a9)＝50，又an0，∴a4·a5·a6＝52.(2)∵a5·a2n－5＝a2n＝22n且an0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a2n－1＝2n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.[答案](1)A(2)C[规律总结]1.解答本例(1)时，也可用整体代入的方法求解，但不如用等比数列的性质简单．2．利用等比数列的性质解决问题时，一定要注意每一项的下标，不要犯a2·a5＝a7的错误．变式训练3(1)(2013·苏北四市联考)已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为__________．(2)(2010·安徽高考)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列不等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)[解析](1)由a1a2a3＝3，an－2an－1an＝9，则(a1an)3＝3×9＝27，∴a1an＝3.又a1a2…an－1an＝(a1an)n2＝243，∴3n2＝35，∴n＝10.(2)由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.又∵{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，则X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X(Z－Y)．即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY.∴Y2－XY＝ZX－X2.即Y(Y－X)＝X(Z－X)．[答案](1)10(2)D[例4](2013·银川模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＋a5＝64(1a3＋1a4＋1a5)(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1an)2，求数列{bn}的前n项和Tn.热点题型四等比数列的综合应用[思路点拨]本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识．(1)设出公比q，根据条件列出关于a1与q的方程(组)，求得a1与q，可求得数列的通项公式．(2)由(1)中求得的数列通项公式，可求出{bn}的通项公式，由其通项公式可知其和可分成两个等比数列与一常数列分别求和．[解](1)设公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得a1＋a1q＝21a1＋1a1qa1q2＋a1q3＋a1q4＝641a1q2＋1a1q