人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳(提高)：证明不等式的方法

人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法目录目录..............................................................................................................................1考点一比较法.....................................................................................................................2考点二综合法与分析法.......................................................................................................3考点三反证法与放缩法.......................................................................................................4考点四数学归纳法..............................................................................................................6课后综合巩固练习................................................................................................................8人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法考点一比较法1．求差比较法：知道a＞b⇔a-b＞0，a＜b⇔a-b＜0，因此要证明a＞b，只要证明a-b＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法：由a＞b＞0⇔a1b＞且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时要证明a＞b，只要证明a1b＞即可，这种方法称为求商比较法．1．给出下列命题：①若a，bR，ab，则3322ababab；②若a，bR，ab，则amabmb；③若22abcc，则lnalnb；④20,,222xsinxsinx当时的最小值为；其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】对于三个命题分别判断，正确的给出证明，错误的能举出反例，是解答这类题目的重要方法，另外记住一些结论对捷达选择或者填空题很有帮助．本题要一一作出解答．【解答】解：①a，bR，ab，0ab，2()0ab，332222222()()()()()()()0abababaabbbaabababab，3322ababab，此命题正确；②a，bR，ab，0ba，()()()0()()amabamabmmbabmbbbmbbm，amabmb，命题amabmb不正确；本题可以举出反例如：设2a，3b，1m，可验证命题不正确；③反例设1a，2b，22abcc成立，但是lna，lnb均无意义；更谈不上lnalnb了；④设sin(0,1)tx，则222sin222sinxttxtt…，当且仅当2tt即2sinsinxx，sin2x显然不成立，此命题不正确．综上可知只有①正确．故选：B．人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法【点评】本题考查了命题的概念和命题的真假判断，结合不等式知识，综合考查了综合法，分析法，反证法，比较作差法等不等式的证明方法；另外对均值不等式的应用题目设计很好地体现了学生容易出现的错误，很有针对性！2．若6n…时，有11(1)32nn，则在*mN时，下列不等式成立的是()A．1(1)()32nmmn„B．1(1)()32nmmn…C．1(1)()32nmmnD．1(1)()32nmmn【分析】根据6n…时，有11(1)32nn，结合选项，即可得出结论．【解答】解：6n…时，有11(1)32nn，1m时，1(1)()32nmmn成立，故选：C．【点评】本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题考点二综合法与分析法1．分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．2．综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．4．求证：71115证明：要证71115只需证75111人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法即证72755112111即证35113511原不等式成立以上证明应用的方法是()A．间接证明B．综合法C．分析法D．不是以上方法3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至多有一个是偶数”的正确假设为（）A．自然数a，b，c中至少有一个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数4．证明不等式“√2−√3＜√6−√7”最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．数学归纳法考点三反证法与放缩法放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出矛盾；3．否定假设，肯定结论．【关键要点点拨】放缩法证明不等式的主要理论依据（1）不等式的传递性；人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法（2）等量加不等量为不等量；（3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较．[注意]放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设abc，且0abc，求证：223bacc，则证明的依据应是()A．0cbB．0caC．()()0cbcaD．()()0cbca【分析】把bac代入不等式，利用因式分解得出使不等式成立的条件即可．【解答】解：0abc，bac．要证：223bacc，只需证：22()3acacc，即证：2220aacc，即证：2220acacc，即证：()()()0acaccac，即证：()()0acacc，即证：()()0cacb．故选：C．【点评】本题考查了分析法证明，属于中档题．4．要证明不等式3725，可选择的方法有()A．分析法B．综合法C．反证法D．以上三种方法均可【分析】利用三种方法，给出不等式的证明，即可得出结论．【解答】解：用分析法证明如下：要证明3725，需证22(37)(25)，即证1022120，即证215，即证2125，显然成立，人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法故原结论成立．综合法：22(37)(25)10221202(215)0，3725．反证法：假设3725…通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．从以上证法中，可知三种方法均可．故选：D．【点评】本题考查分析法、综合法、反证法的应用，考查分析与判定思维能力，属于中档题．考点四数学归纳法1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n0时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n=k命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．7．利用数学归纳法证明不等式11111(*)232nnnNn的过程中，由nk到1nk时，不等式的左边增加的项数为()A．1B．21kC．2kD．k【分析】依题意，由nk递推到1nk时，不等式左边111112321kk与nk时不等式的左边比较即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明11111232nnn的过程中，假设nk时不等式成立，左边1111232kk，则当1nk时，左边111112321kk，由nk递推到1nk时不等式左边增加了：1111212221kkkkkk，共1(21)21121kkkkk项，故选：B．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．8．用数学归纳法证明等式：222121123(1)(1)(2nnnnn是正奇数），假设nk时等式成立，则需证()A．1nk时等式成立，且1k…B．1nk时等式成立，且3k…C．2nk时等式成立，且1k…D．2nk时等式成立，且3k…【分析】根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步，假设nk时，命题成立，在此基础上且n是正奇数，应推证2nk时，命题也成立．【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设(nkk为正奇数）时，则需证明2nk时等式成立，且1k…．人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法故选：C．【点评】本题考查用数学归纳法证明数学命题的两个步骤，注意相邻的两个奇数相差2，这是解题的易错点．9．用数学归纳法证明不等式*1111(1,)122nnNnnnn的过程中，从nk到1nk时左边需增加的代数式是()A．122kB．112122kkC．112122kkD．121k【分析】求出当nk时，左边的代数式，当1nk时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当nk时，左边的代数式为11112kkkk，当1nk时，左边的代数式为11111232122kkkkkk，故用1nk时左边的代数式减去nk时左边的代数式的结果为：11111212212122kkkkk．故选：B．【点评】本